$\left(1\right)\because$点$D$的坐标为$\left(10,8\right)$，在矩形$AOCD$中，
$\therefore AD=OC=10$，$AO=CD=8$，
由折叠的性质的可知：$AF=AD=10ED=EF$，
在$Rt\triangle AOF$中，由勾股定理得：$OF=\sqrt{A{F}^{2}-O{A}^{2}}=\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}=6$，
$\therefore F\left(6,0\right)$.
$\therefore OF=6$；
$(2)$由（1）得$OF=6$，
$\therefore FC=OC-OF=10-6=4$，
设$EC=x$，则$DE=EF=8-x$，
在$Rt\triangle EFC$中，由勾股定理得：$EF^{2}=EC^{2}+FC^{2}$即$\left(8-x\right)^{2}=x^{2}+4^{2}$，
解得：$x=3$，
$\therefore$点$E$的坐标为$\left(10,3\right)$.

$\left(1\right)\because$点$D$的坐标为$\left(10,8\right)$，在矩形$AOCD$中，
$\therefore AD=OC=10$，$AO=CD=8$，
由折叠的性质的可知：$AF=AD=10ED=EF$，
在$Rt\triangle AOF$中，由勾股定理得：$OF=\sqrt{A{F}^{2}-O{A}^{2}}=\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}=6$，
$\therefore F\left(6,0\right)$.
$\therefore OF=6$；
$(2)$由（1）得$OF=6$，
$\therefore FC=OC-OF=10-6=4$，
设$EC=x$，则$DE=EF=8-x$，
在$Rt\triangle EFC$中，由勾股定理得：$EF^{2}=EC^{2}+FC^{2}$即$\left(8-x\right)^{2}=x^{2}+4^{2}$，
解得：$x=3$，
$\therefore$点$E$的坐标为$\left(10,3\right)$.