下面是小明同学设计的"作一个角等于已知角的$2$倍"的尺规作图过程.
已知:$\angle AOB$.
求作:$\angle ADC$,使$\angle ADC=2\angle AOB$.
作法:如图,
①在射线$OB$上任取一点$C$；
②作线段$OC$的垂直平分线,交$OA$于点$D$,交$OB$于点$E$,连接$DC$.
所以$\angle ADC$即为所求的角.
根据小明设计的尺规作图过程,
$(1)$使用直尺和圆规,补全图形（保留作图痕迹）；
$(2)$完成下面证明（说明:括号里填写作图依据).
证明:$\because DE$是线段$OC$的垂直平分线,
$\therefore OD=$______(______),
$\therefore \angle AOB=$______(______),
$\because \angle ADC=\angle AOB+\angle DCO$,
$\therefore \angle ADC=2\angle AOB$.