C

$x=4-mx$，
$x+mx=4$，
$(1+m)x=4$，
当$1+m\neq 0$即$m\neq -1$时，解得$x=\frac{4}{1+m}$，
$\because$方程的解为整数，且$m$为整数，
$\therefore 1+m=\pm 1$，$\pm 2$，$\pm 4$，
解得$m=0$或$m=-2$或$m=1$或$m=-3$或$m=3$或$m=-5$，
即整数解的个数为$6$个，
故选：$C$.