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八年级数学填空题一般
题目
小明在解方程24−x−8−x=2\sqrt{24-x}-\sqrt{8-x}=2时采用了下面的方法:由
(24−x−8−x)(24−x+8−x)=(24−x)2−(8−x)2=(24−x)−(8−x)=16(\sqrt{24-x}-\sqrt{8-x})(\sqrt{24-x}+\sqrt{8-x})=(\sqrt{24-x})^{2}-(\sqrt{8-x})^{2}=\left(24-x\right)-\left(8-x\right)=16,
又有24−x−8−x=2\sqrt{24-x}-\sqrt{8-x}=2,可得24−x+8−x=8\sqrt{24-x}+\sqrt{8-x}=8,将这两式相加可得{24−x=58−x=3\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{24-x}=5}\\{\sqrt{8-x}=3}\end{array}\right.,将24−x=5\sqrt{24-x}=5两边平方可解得x=−1x=-1,经检验x=−1x=-1是原方程的解.
请你学习小明的方法,解下面的方程:
(1)(1)方程x2+42+x2+10=16\sqrt{{x^2}+42}+\sqrt{{x^2}+10}=16的解是______；
(2)(2)解方程4x2+6x−5+4x2−2x−5=4x\sqrt{4{x}^{2}+6x-5}+\sqrt{4{x}^{2}-2x-5}=4x.
知识点：二次根式的混合运算、解二元一次方程组——代入消元法、解三元一次方程组、解二元一次方程组章节：第3章 一元一次方程（组） / 3.8 三元一次方程组

答案与解析

答案

(1)(x2+42+x2+10)(x2+42−x2+10)\left(1\right)(\sqrt{{x}^{2}+42}+\sqrt{{x}^{2}+10})(\sqrt{{x}^{2}+42}-\sqrt{{x}^{2}+10})
=(x2+42)2−(x2+10)2={(\sqrt{{x}^{2}+42})}^{2}-{(\sqrt{{x}^{2}+10})}^{2}
=(x2+42)−(x2+10)=(x^{2}+42)-(x^{2}+10)
=32=32
∵x2+42+x2+10=16\because \sqrt{{x^2}+42}+\sqrt{{x^2}+10}=16，
∴x2+42−x2+10=32÷16=2\therefore \sqrt{{x}^{2}+42}-\sqrt{{x}^{2}+10}=32\div 16=2，
∴{x2+42=9x2+10=7\therefore \left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{x}^{2}+42}=9}\\{\sqrt{{x}^{2}+10}=7}\end{array}\right.
∵(x2+42)2=x2+42=92=81\because {(\sqrt{{x}^{2}+42})}^{2}{=x}^{2}+42=9^{2}=81，
∴x=±39\therefore x=\pm \sqrt{39}，
经检验x=±39x=\pm \sqrt{39}都是原方程的解，
∴\therefore方程x2+42+x2+10=16\sqrt{{x^2}+42}+\sqrt{{x^2}+10}=16的解是：x=±39x=\pm \sqrt{39}；
故答案为：x=±39x=\pm \sqrt{39}.
(2)(4x2+6x−5+4x2−2x−5)(4x2+6x−5−4x2−2x−5)(2)(\sqrt{4{x}^{2}+6x-5}+\sqrt{4{x}^{2}-2x-5})(\sqrt{4{x}^{2}+6x-5}-\sqrt{4{x}^{2}-2x-5})
=(4x2+6x−5)2−(4x2−2x−5)2={(\sqrt{{4x}^{2}+6x-5})}^{2}{-(\sqrt{{4x}^{2}-2x-5})}^{2}
=(4x2+6x−5)−(4x2−2x−5)=(4x^{2}+6x-5)-(4x^{2}-2x-5)
=8x=8x
∵4x2+6x−5+4x2−2x−5=4x\because \sqrt{4{x}^{2}+6x-5}+\sqrt{4{x}^{2}-2x-5}=4x，
∴4x2+6x−5−4x2−2x−5=8x÷4x=2\therefore \sqrt{4{x}^{2}+6x-5}-\sqrt{4{x}^{2}-2x-5}=8x\div 4x=2，
∴{4x2+6x−5=2x+14x2−2x−5=2x−1\therefore \left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{4x}^{2}+6x-5}=2x+1}\\{\sqrt{{4x}^{2}-2x-5}=2x-1}\end{array}\right.，
∵(4x2+6x−5)2=(2x+1)2\because {(\sqrt{{4x}^{2}+6x-5})}^{2}{=(2x+1)}^{2}，
∴4x2+6x−5=4x2+4x+1\therefore 4x^{2}+6x-5=4x^{2}+4x+1，
∴2x=6\therefore 2x=6，
解得x=3x=3，
经检验x=3x=3是原方程的解，
∴\therefore方程4x2+6x−5+4x2−2x−5=4x\sqrt{4{x}^{2}+6x-5}+\sqrt{4{x}^{2}-2x-5}=4x的解是：x=3x=3.

解析

(1)(x2+42+x2+10)(x2+42−x2+10)\left(1\right)(\sqrt{{x}^{2}+42}+\sqrt{{x}^{2}+10})(\sqrt{{x}^{2}+42}-\sqrt{{x}^{2}+10})
=(x2+42)2−(x2+10)2={(\sqrt{{x}^{2}+42})}^{2}-{(\sqrt{{x}^{2}+10})}^{2}
=(x2+42)−(x2+10)=(x^{2}+42)-(x^{2}+10)
=32=32
∵x2+42+x2+10=16\because \sqrt{{x^2}+42}+\sqrt{{x^2}+10}=16，
∴x2+42−x2+10=32÷16=2\therefore \sqrt{{x}^{2}+42}-\sqrt{{x}^{2}+10}=32\div 16=2，
∴{x2+42=9x2+10=7\therefore \left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{x}^{2}+42}=9}\\{\sqrt{{x}^{2}+10}=7}\end{array}\right.
∵(x2+42)2=x2+42=92=81\because {(\sqrt{{x}^{2}+42})}^{2}{=x}^{2}+42=9^{2}=81，
∴x=±39\therefore x=\pm \sqrt{39}，
经检验x=±39x=\pm \sqrt{39}都是原方程的解，
∴\therefore方程x2+42+x2+10=16\sqrt{{x^2}+42}+\sqrt{{x^2}+10}=16的解是：x=±39x=\pm \sqrt{39}；
故答案为：x=±39x=\pm \sqrt{39}.
(2)(4x2+6x−5+4x2−2x−5)(4x2+6x−5−4x2−2x−5)(2)(\sqrt{4{x}^{2}+6x-5}+\sqrt{4{x}^{2}-2x-5})(\sqrt{4{x}^{2}+6x-5}-\sqrt{4{x}^{2}-2x-5})
=(4x2+6x−5)2−(4x2−2x−5)2={(\sqrt{{4x}^{2}+6x-5})}^{2}{-(\sqrt{{4x}^{2}-2x-5})}^{2}
=(4x2+6x−5)−(4x2−2x−5)=(4x^{2}+6x-5)-(4x^{2}-2x-5)
=8x=8x
∵4x2+6x−5+4x2−2x−5=4x\because \sqrt{4{x}^{2}+6x-5}+\sqrt{4{x}^{2}-2x-5}=4x，
∴4x2+6x−5−4x2−2x−5=8x÷4x=2\therefore \sqrt{4{x}^{2}+6x-5}-\sqrt{4{x}^{2}-2x-5}=8x\div 4x=2，
∴{4x2+6x−5=2x+14x2−2x−5=2x−1\therefore \left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{4x}^{2}+6x-5}=2x+1}\\{\sqrt{{4x}^{2}-2x-5}=2x-1}\end{array}\right.，
∵(4x2+6x−5)2=(2x+1)2\because {(\sqrt{{4x}^{2}+6x-5})}^{2}{=(2x+1)}^{2}，
∴4x2+6x−5=4x2+4x+1\therefore 4x^{2}+6x-5=4x^{2}+4x+1，
∴2x=6\therefore 2x=6，
解得x=3x=3，
经检验x=3x=3是原方程的解，
∴\therefore方程4x2+6x−5+4x2−2x−5=4x\sqrt{4{x}^{2}+6x-5}+\sqrt{4{x}^{2}-2x-5}=4x的解是：x=3x=3.

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