$(1)$拼一拼、画一画:请你用如图$1$所示的$4$个长为$a$,宽为$b$的长方形拼成一个大正方形,并且正中间留下一个洞,这个洞恰好是一个小正方形.请画出草图.
$(2)$用不同方法计算中间的小正方形的面积,聪明的你能写出什么样的等量关系式?
$(3)$当拼成的这个大正方形的边长比中间小正方形的边长多$3cm$时,面积就多$24cm^{2}$,求中间小正方形的边长.
$(4)$实际上有许多代数恒等式可以用同一个图形面积的不同方法来表示.如图$2$,它表示的代数恒等式是______.