D

$\because$在$\triangle ABC$中，$\angle ABC$和$\angle ACB$的平分线相交于点$O$，
$\therefore \angle OBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle OCB=\frac{1}{2}\angle ACB$，$\angle A+\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}$，
$\therefore \angle OBC+\angle OCB=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A$，
$\therefore \angle BOC=180^{\circ}-\left(\angle OBC+\angle OCB\right)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A$；故②正确；
$\because$在$\triangle ABC$中，$\angle ABC$和$\angle ACB$的平分线相交于点$O$，
$\therefore \angle OBC=\angle OBE$，$\angle OCB=\angle OCF$，
$\because EF$∥$BC$，
$\therefore \angle OBC=\angle EOB$，$\angle OCB=\angle FOC$，
$\therefore \angle EOB=\angle OBE$，$\angle FOC=\angle OCF$，
$\therefore BE=OE$，$CF=OF$，
$\therefore EF=OE+OF=BE+CF$，
故①正确；
过点$O$作$OM\bot AB$于$M$，作$ON\bot BC$于$N$，连接$OA$，

$\because$在$\triangle ABC$中，$\angle ABC$和$\angle ACB$的平分线相交于点$O$，
$\therefore ON=OD=OM=m$，
$\therefore S_{\triangle AEF}=S_{\triangle AOE}+S_{\triangle AOF}=\frac{1}{2}AE\cdot OM+\frac{1}{2}AF\cdot OD=\frac{1}{2}OD\cdot \left(AE+AF\right)=\frac{1}{2}mn$；故④正确；
$\because$在$\triangle ABC$中，$\angle ABC$和$\angle ACB$的平分线相交于点$O$，
$\therefore$点$O$到$\triangle ABC$各边的距离相等，故③正确.
故选：$D$.