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八年级数学填空题一般
题目
如图,在△ABC\triangle ABC中,∠ABC\angle ABC和∠ACB\angle ACB的平分线相交于点OO,过OO点作EFEF∥BCBC交ABAB于点EE,交ACAC于点FF,过点OO作OD⊥ACOD\bot AC于DD,下列四个结论:①EF=BE+CFEF=BE+CF；②∠BOC=90°+12∠A②∠BOC=90°+\frac{1}{2}∠A；③点OO到△ABC\triangle ABC各边的距离相等；④设OD=mOD=m,AE+AF=nAE+AF=n,则S△AEF=12mnS_{△AEF}=\frac{1}{2}mn.其中,正确的是______.(只填写序号）
知识点：圆与圆的位置关系章节：第31章 圆 / 31.2 点和圆、直线和圆的位置关系

答案与解析

答案

∵∠ABC\because \angle ABC和∠ACB\angle ACB的平分线相交于点OO，
∴∠OBC=12∠ABC\therefore ∠OBC=\frac{1}{2}∠ABC，∠OCB=12∠ACB∠OCB=\frac{1}{2}∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°−∠A)=90°−12∠A\therefore ∠OBC+∠OCB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=\frac{1}{2}(180°-∠A)=90°-\frac{1}{2}∠A，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−(90°−12∠A)=90°+12∠A\therefore ∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(90°-\frac{1}{2}∠A)=90°+\frac{1}{2}∠A，
∴\therefore②符合题意；
∵∠ABC\because \angle ABC和∠ACB\angle ACB的平分线相交于点OO，
∴∠OBC=∠OBE\therefore \angle OBC=\angle OBE，∠OCB=∠OCF\angle OCB=\angle OCF，
∵EF\because EF∥BCBC，
∴∠OBC=∠EOB\therefore \angle OBC=\angle EOB，∠OCB=∠FOC\angle OCB=\angle FOC，
∴∠EOB=∠OBE\therefore \angle EOB=\angle OBE，∠FOC=∠OCF\angle FOC=\angle OCF，
∴BE=OE\therefore BE=OE，CF=OFCF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF\therefore EF=OE+OF=BE+CF，
∴\therefore①符合题意；
如图，过点OO作OM⊥ABOM\bot AB于MM，作ON⊥BCON\bot BC于NN，连接OAOA，

∵∠ABC\because \angle ABC和∠ACB\angle ACB的平分线相交于点OO，
∴OM=ON\therefore OM=ON，ON=OD=mON=OD=m，
∴OM=ON=OD=m\therefore OM=ON=OD=m，
∵AE+AF=n\because AE+AF=n，
∴S△AEF=S△AOE+S△AOF\therefore S_{\triangle AEF}=S_{\triangle AOE}+S_{\triangle AOF}
=12•AE•OM+12•AF•OD=\frac{1}{2}•AE•OM+\frac{1}{2}•AF•OD
=12•OD•(AE+AF)=\frac{1}{2}•OD•(AE+AF)
=12mn=\frac{1}{2}mn，
∴\therefore④符合题意；
由OM=ON=ODOM=ON=OD，
即点OO到△ABC\triangle ABC各边的距离相等，
∴\therefore③符合题意；
故答案为：①②③④.

解析

∵∠ABC\because \angle ABC和∠ACB\angle ACB的平分线相交于点OO，
∴∠OBC=12∠ABC\therefore ∠OBC=\frac{1}{2}∠ABC，∠OCB=12∠ACB∠OCB=\frac{1}{2}∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°−∠A)=90°−12∠A\therefore ∠OBC+∠OCB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=\frac{1}{2}(180°-∠A)=90°-\frac{1}{2}∠A，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−(90°−12∠A)=90°+12∠A\therefore ∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(90°-\frac{1}{2}∠A)=90°+\frac{1}{2}∠A，
∴\therefore②符合题意；
∵∠ABC\because \angle ABC和∠ACB\angle ACB的平分线相交于点OO，
∴∠OBC=∠OBE\therefore \angle OBC=\angle OBE，∠OCB=∠OCF\angle OCB=\angle OCF，
∵EF\because EF∥BCBC，
∴∠OBC=∠EOB\therefore \angle OBC=\angle EOB，∠OCB=∠FOC\angle OCB=\angle FOC，
∴∠EOB=∠OBE\therefore \angle EOB=\angle OBE，∠FOC=∠OCF\angle FOC=\angle OCF，
∴BE=OE\therefore BE=OE，CF=OFCF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF\therefore EF=OE+OF=BE+CF，
∴\therefore①符合题意；
如图，过点OO作OM⊥ABOM\bot AB于MM，作ON⊥BCON\bot BC于NN，连接OAOA，

∵∠ABC\because \angle ABC和∠ACB\angle ACB的平分线相交于点OO，
∴OM=ON\therefore OM=ON，ON=OD=mON=OD=m，
∴OM=ON=OD=m\therefore OM=ON=OD=m，
∵AE+AF=n\because AE+AF=n，
∴S△AEF=S△AOE+S△AOF\therefore S_{\triangle AEF}=S_{\triangle AOE}+S_{\triangle AOF}
=12•AE•OM+12•AF•OD=\frac{1}{2}•AE•OM+\frac{1}{2}•AF•OD
=12•OD•(AE+AF)=\frac{1}{2}•OD•(AE+AF)
=12mn=\frac{1}{2}mn，
∴\therefore④符合题意；
由OM=ON=ODOM=ON=OD，
即点OO到△ABC\triangle ABC各边的距离相等，
∴\therefore③符合题意；
故答案为：①②③④.

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