如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$\angle BAC=90^{\circ}$,点$D$是边$BC$上的动点,连接$AD$,点$C$关于直线$AD$的对称点为点$E$,射线$BE$与射线$AD$交于点$F$.
$(1)$在图中,依题意补全图形；
$(2)$记$\angle DAC=\alpha\ \ \left(\alpha\ \ \lt 45^{\circ} \right)$,求$\angle ABF$的大小；(用含\alpha\ \的式子表示）
$(3)$若$\triangle ACE$是等边三角形,猜想$EF$和$BC$的数量关系,并证明.