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八年级数学解答题一般
题目
如图,在△ABC\triangle ABC中,AB=ACAB=AC,∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ},点DD是边BCBC上的动点,连接ADAD,点CC关于直线ADAD的对称点为点EE,射线BEBE与射线ADAD交于点FF.
(1)(1)在图中,依题意补全图形；
(2)(2)记∠DAC=α  (α  <45∘)\angle DAC=\alpha\ \ \left(\alpha\ \ \lt 45^{\circ} \right),求∠ABF\angle ABF的大小；(用含\alpha\ \的式子表示）
(3)(3)若△ACE\triangle ACE是等边三角形,猜想EFEF和BCBC的数量关系,并证明.
知识点：几何变换综合题章节：第4章 图形的平移与旋转 / 4.2 图形的旋转

答案与解析

答案

（1）如图11所示；


(2)(2)如图22，
连接AEAE，由题意可知，∠EAD=∠CAD=α\angle EAD=\angle CAD=\alpha，AC=AEAC=AE，
∴∠BAE=90∘−2α\therefore \angle BAE=90^{\circ}-2\alpha，
∵AB=AC\because AB=AC，
∴AB=AE\therefore AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB\therefore \angle ABE=\angle AEB，
∴∠ABF=180°−∠BAE2=45°+α\therefore ∠ABF=\frac{{180°-∠BAE}}{2}=45°+α；

(3)EF=12BC(3)EF=\frac{1}{2}BC，
证明：如备用图，连接AEAE，CFCF，
由（2）可知，∠AEB=∠ABF=45∘+α\angle AEB=\angle ABF=45^{\circ}+\alpha，
∵AB=AC\because AB=AC，
∴∠ABC=45∘\therefore \angle ABC=45^{\circ}，
∴∠CBF=α\therefore \angle CBF=\alpha，
∵\because点CC关于直线ADAD的对称点为点EE，
∴∠ACF=∠AEF=135∘−α\therefore \angle ACF=\angle AEF=135^{\circ}-\alpha，
∴∠BCF=90∘−α\therefore \angle BCF=90^{\circ}-\alpha，
∵∠CBF+∠BCF=90∘\because \angle CBF+\angle BCF=90^{\circ}，
∴△BCF\therefore \triangle BCF是直角三角形.
∵△ACE\because \triangle ACE是等边三角形，
∴α=30∘\therefore \alpha =30^{\circ}.
∴∠CBF=30∘\therefore \angle CBF=30^{\circ}
∴EF=CF=12BC\therefore EF=CF=\frac{1}{2}BC.

解析

（1）如图11所示；


(2)(2)如图22，
连接AEAE，由题意可知，∠EAD=∠CAD=α\angle EAD=\angle CAD=\alpha，AC=AEAC=AE，
∴∠BAE=90∘−2α\therefore \angle BAE=90^{\circ}-2\alpha，
∵AB=AC\because AB=AC，
∴AB=AE\therefore AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB\therefore \angle ABE=\angle AEB，
∴∠ABF=180°−∠BAE2=45°+α\therefore ∠ABF=\frac{{180°-∠BAE}}{2}=45°+α；

(3)EF=12BC(3)EF=\frac{1}{2}BC，
证明：如备用图，连接AEAE，CFCF，
由（2）可知，∠AEB=∠ABF=45∘+α\angle AEB=\angle ABF=45^{\circ}+\alpha，
∵AB=AC\because AB=AC，
∴∠ABC=45∘\therefore \angle ABC=45^{\circ}，
∴∠CBF=α\therefore \angle CBF=\alpha，
∵\because点CC关于直线ADAD的对称点为点EE，
∴∠ACF=∠AEF=135∘−α\therefore \angle ACF=\angle AEF=135^{\circ}-\alpha，
∴∠BCF=90∘−α\therefore \angle BCF=90^{\circ}-\alpha，
∵∠CBF+∠BCF=90∘\because \angle CBF+\angle BCF=90^{\circ}，
∴△BCF\therefore \triangle BCF是直角三角形.
∵△ACE\because \triangle ACE是等边三角形，
∴α=30∘\therefore \alpha =30^{\circ}.
∴∠CBF=30∘\therefore \angle CBF=30^{\circ}
∴EF=CF=12BC\therefore EF=CF=\frac{1}{2}BC.

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