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八年级数学填空题一般
题目
在△ABC\triangle ABC中,AB=ACAB=AC,点DD是直线BCBC上一点（不与点BB,CC重合),把线段ADAD绕着点AA逆时针旋转至AE(AE(即AD=AE)AD=AE),使得∠DAE=∠BAC\angle DAE=\angle BAC,连接DBDB,CECE.
(1)(1)如图(1)\left(1\right),点DD在线段BCBC上,若∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ},则∠BCE=\angle BCE=______；
(2)(2)如图(2)\left(2\right),当点DD在线段BCBC上时,若∠BAC=60∘\angle BAC=60^{\circ},请求出∠BCE\angle BCE的度数.
(3)(3)如图（3）,设∠BAC=α\angle BAC=\alpha,∠BCE=β\angle BCE=\beta,当点DD在直线BCBC上移动时,请直接写出α\alpha,β\beta的数量关系,不用证明.
知识点：几何变换综合题章节：第4章 图形的平移与旋转 / 4.2 图形的旋转

答案与解析

答案

(1)∵∠BAC=90∘\left(1\right)\because \angle BAC=90^{\circ}，
∴∠DAE=∠BAC=90∘\therefore \angle DAE=\angle BAC=90^{\circ}，
∵AB=AC\because AB=AC，AD=AEAD=AE，
∴∠B=∠ACB=45∘\therefore \angle B=\angle ACB=45^{\circ}，∠ADE=∠AED=45∘\angle ADE=\angle AED=45^{\circ}，
∵∠DAE=∠BAC\because \angle DAE=\angle BAC，
∴∠BAD=∠CAE\therefore \angle BAD=\angle CAE，
在△BAD\triangle BAD和△CAE\triangle CAE中，
{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.，
∴△BAD\therefore \triangle BAD≌△CAE(SAS)\triangle CAE\left(SAS\right)，
∴∠ACE=∠B=45∘\therefore \angle ACE=\angle B=45^{\circ}，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90∘\therefore \angle BCE=\angle ACB+\angle ACE=90^{\circ}，
故答案为：90∘90^{\circ}；
(2)∵∠BAC=60∘(2)\because \angle BAC=60^{\circ}，
∴∠DAE=∠BAC=60∘\therefore \angle DAE=\angle BAC=60^{\circ}，
∵AB=AC\because AB=AC，AD=AEAD=AE，
∴∠B=∠ACB=60∘\therefore \angle B=\angle ACB=60^{\circ}，∠ADE=∠AED=60∘\angle ADE=\angle AED=60^{\circ}，
由（1）得，∠ACE=∠B=60∘\angle ACE=\angle B=60^{\circ}，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120∘\therefore \angle BCE=\angle ACB+\angle ACE=120^{\circ}；
(3)α+β=180∘(3)\alpha +\beta =180^{\circ}或α=β\alpha =\beta.理由如下：
①当点DD在线段BCBC上，
∵∠BAC=α\because \angle BAC=\alpha，
∴∠B=∠ACB=12(180∘−α)\therefore \angle B=\angle ACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha )，
由（1）得，∠ACE=∠B=12(180∘−α)\angle ACE=\angle B=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha )，
∴β=∠BCE=∠ACB+∠ACE=180∘−α\therefore \beta =\angle BCE=\angle ACB+\angle ACE=180^{\circ}-\alpha，
∴α+β=180∘\therefore \alpha +\beta =180^{\circ}；
②当点DD在射线BCBC上时，如图44，连接CECE，

∵∠BAC=∠DAE\because \angle BAC=\angle DAE，
∴∠BAD=∠CAE\therefore \angle BAD=\angle CAE，
在△ABD\triangle ABD和△ACE\triangle ACE中，
{AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠BAD=∠CAE，\\ AD=AE\end{array}\right.
∴△ABD\therefore \triangle ABD≌△ACE(SAS)\triangle ACE\left(SAS\right)，
∴∠ABD=∠ACE\therefore \angle ABD=\angle ACE，
在△ABC\triangle ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180∘\angle BAC+\angle B+\angle ACB=180^{\circ}，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180∘\therefore \angle BAC+\angle ACE+\angle ACB=\angle BAC+\angle BCE=180^{\circ}，即∠BCE+∠BAC=180∘\angle BCE+\angle BAC=180^{\circ}，
∴α+β=180∘\therefore \alpha +\beta =180^{\circ}；
③当点DD在射线BCBC的反向延长线上时，如图55，连接BEBE，

∵∠BAC=∠DAE\because \angle BAC=\angle DAE，
∴∠BAD=∠CAE\therefore \angle BAD=\angle CAE，
又∵AB=AC\because AB=AC，AD=AEAD=AE，
∴△ABD\therefore \triangle ABD≌△ACE(SAS)\triangle ACE\left(SAS\right)，
∴∠ABD=∠ACE\therefore \angle ABD=\angle ACE，
∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE\therefore \angle ABD=\angle ACE=\angle ACB+\angle BCE，
∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180∘\therefore \angle ABD+\angle ABC=\angle ACE+\angle ABC=\angle ACB+\angle BCE+\angle ABC=180^{\circ}，
∵∠BAC=180∘−∠ABC−∠ACB\because \angle BAC=180^{\circ}-\angle ABC-\angle ACB，
∴∠BAC=∠BCE\therefore \angle BAC=\angle BCE.
∴α=β\therefore \alpha =\beta；
综上所述：点DD在直线BCBC上移动，α+β=180∘\alpha +\beta =180^{\circ}或α=β\alpha =\beta.

解析

(1)∵∠BAC=90∘\left(1\right)\because \angle BAC=90^{\circ}，
∴∠DAE=∠BAC=90∘\therefore \angle DAE=\angle BAC=90^{\circ}，
∵AB=AC\because AB=AC，AD=AEAD=AE，
∴∠B=∠ACB=45∘\therefore \angle B=\angle ACB=45^{\circ}，∠ADE=∠AED=45∘\angle ADE=\angle AED=45^{\circ}，
∵∠DAE=∠BAC\because \angle DAE=\angle BAC，
∴∠BAD=∠CAE\therefore \angle BAD=\angle CAE，
在△BAD\triangle BAD和△CAE\triangle CAE中，
{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.，
∴△BAD\therefore \triangle BAD≌△CAE(SAS)\triangle CAE\left(SAS\right)，
∴∠ACE=∠B=45∘\therefore \angle ACE=\angle B=45^{\circ}，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90∘\therefore \angle BCE=\angle ACB+\angle ACE=90^{\circ}，
故答案为：90∘90^{\circ}；
(2)∵∠BAC=60∘(2)\because \angle BAC=60^{\circ}，
∴∠DAE=∠BAC=60∘\therefore \angle DAE=\angle BAC=60^{\circ}，
∵AB=AC\because AB=AC，AD=AEAD=AE，
∴∠B=∠ACB=60∘\therefore \angle B=\angle ACB=60^{\circ}，∠ADE=∠AED=60∘\angle ADE=\angle AED=60^{\circ}，
由（1）得，∠ACE=∠B=60∘\angle ACE=\angle B=60^{\circ}，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120∘\therefore \angle BCE=\angle ACB+\angle ACE=120^{\circ}；
(3)α+β=180∘(3)\alpha +\beta =180^{\circ}或α=β\alpha =\beta.理由如下：
①当点DD在线段BCBC上，
∵∠BAC=α\because \angle BAC=\alpha，
∴∠B=∠ACB=12(180∘−α)\therefore \angle B=\angle ACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha )，
由（1）得，∠ACE=∠B=12(180∘−α)\angle ACE=\angle B=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha )，
∴β=∠BCE=∠ACB+∠ACE=180∘−α\therefore \beta =\angle BCE=\angle ACB+\angle ACE=180^{\circ}-\alpha，
∴α+β=180∘\therefore \alpha +\beta =180^{\circ}；
②当点DD在射线BCBC上时，如图44，连接CECE，

∵∠BAC=∠DAE\because \angle BAC=\angle DAE，
∴∠BAD=∠CAE\therefore \angle BAD=\angle CAE，
在△ABD\triangle ABD和△ACE\triangle ACE中，
{AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠BAD=∠CAE，\\ AD=AE\end{array}\right.
∴△ABD\therefore \triangle ABD≌△ACE(SAS)\triangle ACE\left(SAS\right)，
∴∠ABD=∠ACE\therefore \angle ABD=\angle ACE，
在△ABC\triangle ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180∘\angle BAC+\angle B+\angle ACB=180^{\circ}，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180∘\therefore \angle BAC+\angle ACE+\angle ACB=\angle BAC+\angle BCE=180^{\circ}，即∠BCE+∠BAC=180∘\angle BCE+\angle BAC=180^{\circ}，
∴α+β=180∘\therefore \alpha +\beta =180^{\circ}；
③当点DD在射线BCBC的反向延长线上时，如图55，连接BEBE，

∵∠BAC=∠DAE\because \angle BAC=\angle DAE，
∴∠BAD=∠CAE\therefore \angle BAD=\angle CAE，
又∵AB=AC\because AB=AC，AD=AEAD=AE，
∴△ABD\therefore \triangle ABD≌△ACE(SAS)\triangle ACE\left(SAS\right)，
∴∠ABD=∠ACE\therefore \angle ABD=\angle ACE，
∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE\therefore \angle ABD=\angle ACE=\angle ACB+\angle BCE，
∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180∘\therefore \angle ABD+\angle ABC=\angle ACE+\angle ABC=\angle ACB+\angle BCE+\angle ABC=180^{\circ}，
∵∠BAC=180∘−∠ABC−∠ACB\because \angle BAC=180^{\circ}-\angle ABC-\angle ACB，
∴∠BAC=∠BCE\therefore \angle BAC=\angle BCE.
∴α=β\therefore \alpha =\beta；
综上所述：点DD在直线BCBC上移动，α+β=180∘\alpha +\beta =180^{\circ}或α=β\alpha =\beta.

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