（1）依题意补全图形如下：

（2）连接CD．
∵线段AC和DC关于射线CP的对称，
∴AC=DC，∠ACE=∠DCE=α．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°．
∴BC=DC，∠BCD=60°+2α．
∴$∠DBC=∠BDC=\frac{1}{2}[{180°-（{60°+2α}）}]=60°-α$．
（3）∠AEB=60°．理由如下：
如图，在BE上取点F，使∠FCE=60°，连接CD，设AD与CP交于点H，

∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°．
∴∠ACB-∠ACF=∠FCE-∠ACF，
∴∠BCF=∠ACE，
∵点A和点D关于射线CP的对称，
∴PC是AD的垂直平分线，
∴AC=DC，AE=DE，∠ACE=∠DCE=α．
∴∠CAD=∠CDA，∠EAD=∠EDA，
∴∠CAE=∠CDE，
∵BC=AC=DC，
∴∠CBF=∠CDE，
∴∠CBF=∠CAE，
在△CBF和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠CAE}\\{CB=CA}\\{∠BCF=∠ACE}\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△CAE（ASA），
∴CF=CE，
∵∠FCE=60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CEF=60°，
∴∠AEH=∠DEH=∠CEF=60°，
∴∠AEB=180°-∠AEH-∠CEF=180°-60°-60°=60°；
（4）结论：BD=2AE+CE．理由如下：
由（1）知，AE=DE，
∵△CBF≌△CAE，
∴BF=AE，
∴BF=AE=DE，
∵△CEF是等边三角形，
∴CE=EF，
∴BD=BF+FE+ED=CE+2AE．

（1）依题意补全图形如下：

（2）连接CD．
∵线段AC和DC关于射线CP的对称，
∴AC=DC，∠ACE=∠DCE=α．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°．
∴BC=DC，∠BCD=60°+2α．
∴$∠DBC=∠BDC=\frac{1}{2}[{180°-（{60°+2α}）}]=60°-α$．
（3）∠AEB=60°．理由如下：
如图，在BE上取点F，使∠FCE=60°，连接CD，设AD与CP交于点H，

∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°．
∴∠ACB-∠ACF=∠FCE-∠ACF，
∴∠BCF=∠ACE，
∵点A和点D关于射线CP的对称，
∴PC是AD的垂直平分线，
∴AC=DC，AE=DE，∠ACE=∠DCE=α．
∴∠CAD=∠CDA，∠EAD=∠EDA，
∴∠CAE=∠CDE，
∵BC=AC=DC，
∴∠CBF=∠CDE，
∴∠CBF=∠CAE，
在△CBF和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠CAE}\\{CB=CA}\\{∠BCF=∠ACE}\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△CAE（ASA），
∴CF=CE，
∵∠FCE=60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CEF=60°，
∴∠AEH=∠DEH=∠CEF=60°，
∴∠AEB=180°-∠AEH-∠CEF=180°-60°-60°=60°；
（4）结论：BD=2AE+CE．理由如下：
由（1）知，AE=DE，
∵△CBF≌△CAE，
∴BF=AE，
∴BF=AE=DE，
∵△CEF是等边三角形，
∴CE=EF，
∴BD=BF+FE+ED=CE+2AE．