$\left(1\right)\because \triangle ACE$是等边三角形，
$\therefore \angle ACE=60^{\circ}=\angle ACB$，
$\therefore \angle BCE=120^{\circ}$，
又$\because \angle BEC=24^{\circ}$，
$\therefore \angle CBE=180^{\circ}-\angle BCE-\angle BEC=180^{\circ}-120^{\circ}-24^{\circ}=36^{\circ}$，
故答案为：$36$；
$(2)\because \triangle ABD$和$\triangle ACE$是等边三角形，
$\therefore AD=AB$，$AE=AC=CE=4$，$\angle DAB=\angle CAE=60^{\circ}$，
$\therefore \angle DAC=\angle BAE$，
在$\triangle DAC$和$\triangle BAE$中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=BA}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle DAC$≌$\triangle BAE\left(SAS\right)$，
$\therefore CD=BE$，
过点$E$作$EF\bot BC$于点$F$，
$\because \angle BCE=120^{\circ}$，
$\therefore \angle CEF=\angle BCE-\angle F=120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$，
$\therefore CF=\frac{1}{2}CE=4$，
$\therefore EF=\sqrt{{CE}^{2}{-CF}^{2}}=4\sqrt{3}$，
$BF=BC+CF=6+4=10$，
$\therefore CD=BE=\sqrt{{EF}^{2}{+BF}^{2}}=2\sqrt{37}$，
故答案为：$\left(1\right)36^{\circ}$，（2）$2\sqrt{37}$.

$\left(1\right)\because \triangle ACE$是等边三角形，
$\therefore \angle ACE=60^{\circ}=\angle ACB$，
$\therefore \angle BCE=120^{\circ}$，
又$\because \angle BEC=24^{\circ}$，
$\therefore \angle CBE=180^{\circ}-\angle BCE-\angle BEC=180^{\circ}-120^{\circ}-24^{\circ}=36^{\circ}$，
故答案为：$36$；
$(2)\because \triangle ABD$和$\triangle ACE$是等边三角形，
$\therefore AD=AB$，$AE=AC=CE=4$，$\angle DAB=\angle CAE=60^{\circ}$，
$\therefore \angle DAC=\angle BAE$，
在$\triangle DAC$和$\triangle BAE$中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=BA}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle DAC$≌$\triangle BAE\left(SAS\right)$，
$\therefore CD=BE$，
过点$E$作$EF\bot BC$于点$F$，
$\because \angle BCE=120^{\circ}$，
$\therefore \angle CEF=\angle BCE-\angle F=120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$，
$\therefore CF=\frac{1}{2}CE=4$，
$\therefore EF=\sqrt{{CE}^{2}{-CF}^{2}}=4\sqrt{3}$，
$BF=BC+CF=6+4=10$，
$\therefore CD=BE=\sqrt{{EF}^{2}{+BF}^{2}}=2\sqrt{37}$，
故答案为：$\left(1\right)36^{\circ}$，（2）$2\sqrt{37}$.