A

由勾股定理可知，“生长”$1$次，“生长”出的两个正方形面积和$=$原来正方形的面积，所有正方形面积和为$1+1=2$；
“生长”$2$次，“生长”出的四个正方形面积和$=$第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为$2+1=3$；
$\ldots \ldots$；
$\therefore$经过$n$次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是$n+1$；
$\therefore$经过$2024$次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是$2025$；
故选：$A$.