$\left(1\right)\because$点$\left(-1,-1\right)$是$y$关于$x$的正比例函数$y=mx$的点，
$\therefore -m=-1$，
$\therefore m=1$.
$\because$点$\left(-1,-1\right)$到两坐标轴的距离之和等于$2$，
$\therefore$点$\left(-1,-1\right)$是$y$关于$x$的正比例函数$y=mx$的“$2$阶和点”，
$\therefore n=2$.
则$m+n=3$
故答案为：$3$；
$(2)\because y$关于$x$的一次函数$y=nx-4$的图象有且仅有$2$个“$n$阶和点”，
$\therefore$一次函数$y=nx-4$的图象与以原点为中心，两对角线在坐标轴上，边长为$\sqrt{2}n$的正方形有两个交点.
由题意得：$n \gt 0$，
$\because -4 \lt 0$，
$\therefore y$关于$x$的一次函数$y=nx-4$的图象经过第一、三、四象限，
①如图，当$0 \lt n\leqslant 4$时，

一次函数$y=nx-4$的图象经过$\left(n,0\right)$，则$n^{2}-4=0$，
$\therefore n=\pm 2$.
$\because n \gt 0$，
$\therefore n=2$.
$\because y$关于$x$的一次函数$y=nx-4$的图象有且仅有$2$个“$n$阶和点”，
$\therefore 2 \lt n\leqslant 4$.
②如图，当$n \gt 4$时，$y$关于$x$的一次函数$y=nx-4$的图象有且仅有$2$个“$n$阶和点”，

综上，$y$关于$x$的一次函数$y=nx-4$的图象有且仅有$2$个“$n$阶和点”，$n$的取值范围为$n \gt 2$.
故答案为：$n \gt 2$.

$\left(1\right)\because$点$\left(-1,-1\right)$是$y$关于$x$的正比例函数$y=mx$的点，
$\therefore -m=-1$，
$\therefore m=1$.
$\because$点$\left(-1,-1\right)$到两坐标轴的距离之和等于$2$，
$\therefore$点$\left(-1,-1\right)$是$y$关于$x$的正比例函数$y=mx$的“$2$阶和点”，
$\therefore n=2$.
则$m+n=3$
故答案为：$3$；
$(2)\because y$关于$x$的一次函数$y=nx-4$的图象有且仅有$2$个“$n$阶和点”，
$\therefore$一次函数$y=nx-4$的图象与以原点为中心，两对角线在坐标轴上，边长为$\sqrt{2}n$的正方形有两个交点.
由题意得：$n \gt 0$，
$\because -4 \lt 0$，
$\therefore y$关于$x$的一次函数$y=nx-4$的图象经过第一、三、四象限，
①如图，当$0 \lt n\leqslant 4$时，

一次函数$y=nx-4$的图象经过$\left(n,0\right)$，则$n^{2}-4=0$，
$\therefore n=\pm 2$.
$\because n \gt 0$，
$\therefore n=2$.
$\because y$关于$x$的一次函数$y=nx-4$的图象有且仅有$2$个“$n$阶和点”，
$\therefore 2 \lt n\leqslant 4$.
②如图，当$n \gt 4$时，$y$关于$x$的一次函数$y=nx-4$的图象有且仅有$2$个“$n$阶和点”，

综上，$y$关于$x$的一次函数$y=nx-4$的图象有且仅有$2$个“$n$阶和点”，$n$的取值范围为$n \gt 2$.
故答案为：$n \gt 2$.