如图所示，过$A$作$AF\bot BC$交$BC$的于$F$，

$\because \angle ABC=45^{\circ}$，$\angle BAC=75^{\circ}$，
$\therefore \angle ACB=180^{\circ}-45^{\circ}-75^{\circ}=60^{\circ}$
$\therefore \angle CAF=30^{\circ}$，$\angle ABC=\angle BAF=45^{\circ}$，
$\because AC=2$，
$\therefore CF=\frac{1}{2}AC=1$，$AF=BF=\sqrt{A{C}^{2}-C{F}^{2}}=\sqrt{3}$，
$\therefore AB=\sqrt{A{F}^{2}+B{F}^{2}}=\sqrt{6}$，
如图所示，作$\angle MAD=45^{\circ}$且$AM=AB$，连接$DM$，$BM$，

$\because AB=AM$，$\angle ABE=\angle MAD=45^{\circ}$，$BE=AD$，
$\therefore \triangle ABE$≌$\triangle MAD\left(SAS\right)$，
$\therefore AE=DM$，
$\therefore BD+AE=BD+DM\geqslant BM$，
当$D$在$BM$上时，$BD+AE$取得最小值，如图所示，过点$M$作$MN\bot AB$交$BA$的延长线于点$N$，

$\because \angle BAD=75^{\circ}$，$\angle DAM=45^{\circ}$
$\therefore \angle NAM=60^{\circ}$，$\angle AMN=30^{\circ}$
$\because AB=AM$，
$\therefore \angle ABM=30^{\circ}$，
$\because AM=AB=\sqrt{6}$，
在$Rt\triangle ANM$中，$AN=\frac{1}{2}AM=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
$\therefore MN=\sqrt{3}AN=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore BM=2MN=3\sqrt{2}$，即$AE+BD$的最小值为$3\sqrt{2}$；
如图所示，作$A$关于$BM$的对称点$J$，连接$AJ$，$BJ$，$MJ$，$EJ$，$DJ$，

$\because AB=AM$，$\angle BAM=120^{\circ}$，$AB=AM$则$\angle ABM=\angle JBM=30^{\circ}$，
$\therefore \angle ABJ=60^{\circ}$，
$\because$是对称，
$\therefore BA=BJ$，
$\therefore \triangle ABJ$，$\triangle AMJ$都是等边三角形，
$\because \triangle ABE$≌$\triangle MAD$，
$\therefore \angle BAE=\angle AMD$，则$\angle EAJ=\angle DMJ$，
又$\because AJ=JM$，$AE=MD$，
$\therefore \triangle EAJ$≌$\triangle DMJ$，
$\therefore \angle EJA=\angle DJM$，$EJ=DJ$，
$\therefore \angle EJD=\angle AJM=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle EDJ$是等边三角形，
$\therefore AE+ED=AE+EJ\geqslant AJ$，
$\therefore$当$E$在$AJ$上时，$AE+ED=AJ$，如图所示，

此时$AE+ED$取得最小值，最小值$AJ=AB=\sqrt{6}$，
故答案为：$3\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$.

如图所示，过$A$作$AF\bot BC$交$BC$的于$F$，

$\because \angle ABC=45^{\circ}$，$\angle BAC=75^{\circ}$，
$\therefore \angle ACB=180^{\circ}-45^{\circ}-75^{\circ}=60^{\circ}$
$\therefore \angle CAF=30^{\circ}$，$\angle ABC=\angle BAF=45^{\circ}$，
$\because AC=2$，
$\therefore CF=\frac{1}{2}AC=1$，$AF=BF=\sqrt{A{C}^{2}-C{F}^{2}}=\sqrt{3}$，
$\therefore AB=\sqrt{A{F}^{2}+B{F}^{2}}=\sqrt{6}$，
如图所示，作$\angle MAD=45^{\circ}$且$AM=AB$，连接$DM$，$BM$，

$\because AB=AM$，$\angle ABE=\angle MAD=45^{\circ}$，$BE=AD$，
$\therefore \triangle ABE$≌$\triangle MAD\left(SAS\right)$，
$\therefore AE=DM$，
$\therefore BD+AE=BD+DM\geqslant BM$，
当$D$在$BM$上时，$BD+AE$取得最小值，如图所示，过点$M$作$MN\bot AB$交$BA$的延长线于点$N$，

$\because \angle BAD=75^{\circ}$，$\angle DAM=45^{\circ}$
$\therefore \angle NAM=60^{\circ}$，$\angle AMN=30^{\circ}$
$\because AB=AM$，
$\therefore \angle ABM=30^{\circ}$，
$\because AM=AB=\sqrt{6}$，
在$Rt\triangle ANM$中，$AN=\frac{1}{2}AM=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
$\therefore MN=\sqrt{3}AN=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore BM=2MN=3\sqrt{2}$，即$AE+BD$的最小值为$3\sqrt{2}$；
如图所示，作$A$关于$BM$的对称点$J$，连接$AJ$，$BJ$，$MJ$，$EJ$，$DJ$，

$\because AB=AM$，$\angle BAM=120^{\circ}$，$AB=AM$则$\angle ABM=\angle JBM=30^{\circ}$，
$\therefore \angle ABJ=60^{\circ}$，
$\because$是对称，
$\therefore BA=BJ$，
$\therefore \triangle ABJ$，$\triangle AMJ$都是等边三角形，
$\because \triangle ABE$≌$\triangle MAD$，
$\therefore \angle BAE=\angle AMD$，则$\angle EAJ=\angle DMJ$，
又$\because AJ=JM$，$AE=MD$，
$\therefore \triangle EAJ$≌$\triangle DMJ$，
$\therefore \angle EJA=\angle DJM$，$EJ=DJ$，
$\therefore \angle EJD=\angle AJM=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle EDJ$是等边三角形，
$\therefore AE+ED=AE+EJ\geqslant AJ$，
$\therefore$当$E$在$AJ$上时，$AE+ED=AJ$，如图所示，

此时$AE+ED$取得最小值，最小值$AJ=AB=\sqrt{6}$，
故答案为：$3\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$.