已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-\left(k+3\right)x+3k=0$.
$(1)$求证:无论$k$为何值,此方程总有实数根；
$(2)$若直角三角形的一边长为$3$,另两边长恰好是这个方程的两根,求$k$的值.