已知关于$x$的方程$x^{2}-\left(k+2\right)x+2k=0$.
$(1)$求证:无论$k$取何值,该方程总有实数根；
$(2)$若等腰$\triangle ABC$的一边长$a=1$,另两边$b$、$c$恰好是该方程的两个根,求三角形另外两边的长.