A

数据的平均数$=\frac{1}{5}×(13+14+15+16+17)=15$，
方差$S^{2}=\frac{1}{5}×[\left(13-15\right)^{2}+\left(14-15\right)^{2}+\left(15-15\right)^{2}+\left(16-15\right)^{2}+\left(17-15\right)^{2}]=\frac{1}{5}×\left[4+1+0+1+4\right]=2$，
故五个数据的标准差是$S=\sqrt{2}$.
故选：$A$.