（1）物块$A$排开水的体积为：
${V\’}=\left(1-\right)L^{3}$，
物块$A$受到的浮力为：
$F_{浮}=\rho _{水}gV\’$，
弹簧恰好处于自然伸长状态，有$F_{浮}=G=mg=\rho _{水}gV\’$，
物块$A$的质量为：
$m=\rho _{水}{V\’}=\rho _{水}(1-)L^{3}=1.0\times 10^{3}kg/m^{3}\times 10N/kg\times (1-\frac{3}{5})\times \left(0.1m\right)^{3}=0.4kg$；
$(2)$物块$A$刚好完全没入水中，受到的浮力等于其重力和弹簧的拉力之和，即物块$A$受到的浮力：${F\’}_{浮}=\rho _{水}gL^{3}$，
弹簧的拉力为：
$F={F\’}_{浮}-G=k\Delta x_{1}$，弹簧的劲度系数为$k=\frac{F{′}_{浮}-G}{Δ{x}_{1}}=\frac{{ρ}_{水}g{L}^{3}-mg}{Δ{x}_{1}}=\frac{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg×(0.1m)^{3}-0.4kg×10N/kg}{3cm}=2N/cm$；
$(3)$由题意可知，当弹簧自然伸长时，物块$A$有$\frac{2}{5}$的体积浸入水中，则露出水面高度为$\frac{3}{5}L=\frac{3}{5}\times 10cm=6cm$，
此时水深为$20cm$，当物块完全浸入水中时，弹簧伸长$3cm$，则此时水深为：
$h=6cm+3cm+20cm=29cm=0.29m$，
$A$刚好完全没入水中时水产生的压强为：
$p_{1}=\rho _{水}gh$，
对容器受力分析，根据平衡条件有：
$Mg+(p_{1}+p_{0})S=F_{N1}+k\Delta x_{1}+p_{0}S$，
即$Mg+p_{1}S=F_{N1}+k\Delta x_{1}$，$Mg+\rho _{水}gh=F_{N1}+k\Delta x_{1}$，
代入数据得：$1kg\times 10N/kg+1.0\times 10^{3}kg/m^{3}\times 10N/kg\times 0.29m\times 5\times 10^{-2}m^{2}=F_{N1}+2N/cm\times 3cm$
解得地面对容器的支持力为：
$F_{N1}=149N$，
由于物体间力的作用是相互的，所以$A$刚好完全没入水中时容器对地面的压力大小为$149N$。
答：（1）物块$A$的质量为$0.4kg$；
$(2)$弹簧的劲度系数为$2N/cm$；
$(3)A$刚好完全没入水中时容器对地面的压力大小为$149N$。

（1）物块$A$排开水的体积为：
${V\’}=\left(1-\right)L^{3}$，
物块$A$受到的浮力为：
$F_{浮}=\rho _{水}gV\’$，
弹簧恰好处于自然伸长状态，有$F_{浮}=G=mg=\rho _{水}gV\’$，
物块$A$的质量为：
$m=\rho _{水}{V\’}=\rho _{水}(1-)L^{3}=1.0\times 10^{3}kg/m^{3}\times 10N/kg\times (1-\frac{3}{5})\times \left(0.1m\right)^{3}=0.4kg$；
$(2)$物块$A$刚好完全没入水中，受到的浮力等于其重力和弹簧的拉力之和，即物块$A$受到的浮力：${F\’}_{浮}=\rho _{水}gL^{3}$，
弹簧的拉力为：
$F={F\’}_{浮}-G=k\Delta x_{1}$，弹簧的劲度系数为$k=\frac{F{′}_{浮}-G}{Δ{x}_{1}}=\frac{{ρ}_{水}g{L}^{3}-mg}{Δ{x}_{1}}=\frac{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg×(0.1m)^{3}-0.4kg×10N/kg}{3cm}=2N/cm$；
$(3)$由题意可知，当弹簧自然伸长时，物块$A$有$\frac{2}{5}$的体积浸入水中，则露出水面高度为$\frac{3}{5}L=\frac{3}{5}\times 10cm=6cm$，
此时水深为$20cm$，当物块完全浸入水中时，弹簧伸长$3cm$，则此时水深为：
$h=6cm+3cm+20cm=29cm=0.29m$，
$A$刚好完全没入水中时水产生的压强为：
$p_{1}=\rho _{水}gh$，
对容器受力分析，根据平衡条件有：
$Mg+(p_{1}+p_{0})S=F_{N1}+k\Delta x_{1}+p_{0}S$，
即$Mg+p_{1}S=F_{N1}+k\Delta x_{1}$，$Mg+\rho _{水}gh=F_{N1}+k\Delta x_{1}$，
代入数据得：$1kg\times 10N/kg+1.0\times 10^{3}kg/m^{3}\times 10N/kg\times 0.29m\times 5\times 10^{-2}m^{2}=F_{N1}+2N/cm\times 3cm$
解得地面对容器的支持力为：
$F_{N1}=149N$，
由于物体间力的作用是相互的，所以$A$刚好完全没入水中时容器对地面的压力大小为$149N$。
答：（1）物块$A$的质量为$0.4kg$；
$(2)$弹簧的劲度系数为$2N/cm$；
$(3)A$刚好完全没入水中时容器对地面的压力大小为$149N$。