$2024$年$11$月$12$日,温州市实验中学$\left(WenZhou Experimental Middle School\right)$即将迎来$80$周年校庆,学校计划在校园内制作一面分别印有"$W$""$E$""$M$""$S$"的打卡墙,萌萌班负责字母"$E$"的设计,如图是她们的设计图——由$3$个长和宽分别为$a$和$b$的长方形,$2$个边长为$b$的正方形和$3$个半径为$b$的$\frac{1}{4}$圆组成.
$(1)$字母"$E$"的面积可表示为______$;($用含$a$、$b$的代数式表示,结果保留$\pi )$
$(2)$计划专门定制实验红的亚克力板进行制作,商家说:"定制的单价为$100$元$/$平方米,另外需要收取$20$元的加工费."若$a=30$厘米,$b=16$厘米,则预计需要花费多少钱?$(\pi$取$3$,结果精确到个位）