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九年级数学填空题一般
题目
如图,在△ABC\triangle ABC中,GG是△ABC\triangle ABC的重心,联结AGAG并延长交BCBC于点DD.
(1)(1)如果AB→=a→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},AC→=b→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b},那么AD→=\overrightarrow{AD}=______(用向量a→\overrightarrow{a}、b→\overrightarrow{b}表示）；
(2)(2)已知AD=6AD=6,AC=8AC=8,点EE在边ACAC上,且∠AGE=∠C\angle AGE=\angle C,求AEAE的长.
知识点：三角形的重心、平面向量I章节：第一章 三角形 / 1.1 认识三角形

答案与解析

答案

(1)∵AB→=a→\left(1\right)\because \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}，AC→=b→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}，
∴BC‾=BA‾+AC‾=−a‾+b‾\therefore \overline{BC}=\overline{BA}+\overline{AC}=-\overline{a}+\overline{b}，
∵G\because G是△ABC\triangle ABC的重心，联结AGAG并延长交BCBC于点DD，
∴AD\therefore AD为△ABC\triangle ABC的BCBC边上的中线，
即点DD为BCBC的中点，
∴BD‾=12BC‾=−12a‾+12b‾\therefore \overline{BD}=\frac{1}{2}\overline{BC}=-\frac{1}{2}\overline{a}+\frac{1}{2}\overline{b}.
∴AD‾=AB‾+BD‾=a‾−12a‾+12b‾=12a‾+12b‾\therefore \overline{AD}=\overline{AB}+\overline{BD}=\overline{a}-\frac{1}{2}\overline{a}+\frac{1}{2}\overline{b}=\frac{1}{2}\overline{a}+\frac{1}{2}\overline{b}.
故答案为：12a‾+12b‾\frac{1}{2}\overline{a}+\frac{1}{2}\overline{b}.
(2)∵G(2)\because G是△ABC\triangle ABC的重心，
∴AG=23AD=23×6=4\therefore AG=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}\times 6=4.
∵∠AGE=∠C\because \angle AGE=\angle C，∠GAE=∠CAD\angle GAE=\angle CAD，
∴△GAE\therefore \triangle GAE∽△CAD\triangle CAD，
∴AEAG=ADAC\therefore \frac{AE}{AG}=\frac{AD}{AC}，
∴AE4=68\therefore \frac{AE}{4}=\frac{6}{8}，
∴AE=3\therefore AE=3.

解析

(1)∵AB→=a→\left(1\right)\because \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}，AC→=b→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}，
∴BC‾=BA‾+AC‾=−a‾+b‾\therefore \overline{BC}=\overline{BA}+\overline{AC}=-\overline{a}+\overline{b}，
∵G\because G是△ABC\triangle ABC的重心，联结AGAG并延长交BCBC于点DD，
∴AD\therefore AD为△ABC\triangle ABC的BCBC边上的中线，
即点DD为BCBC的中点，
∴BD‾=12BC‾=−12a‾+12b‾\therefore \overline{BD}=\frac{1}{2}\overline{BC}=-\frac{1}{2}\overline{a}+\frac{1}{2}\overline{b}.
∴AD‾=AB‾+BD‾=a‾−12a‾+12b‾=12a‾+12b‾\therefore \overline{AD}=\overline{AB}+\overline{BD}=\overline{a}-\frac{1}{2}\overline{a}+\frac{1}{2}\overline{b}=\frac{1}{2}\overline{a}+\frac{1}{2}\overline{b}.
故答案为：12a‾+12b‾\frac{1}{2}\overline{a}+\frac{1}{2}\overline{b}.
(2)∵G(2)\because G是△ABC\triangle ABC的重心，
∴AG=23AD=23×6=4\therefore AG=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}\times 6=4.
∵∠AGE=∠C\because \angle AGE=\angle C，∠GAE=∠CAD\angle GAE=\angle CAD，
∴△GAE\therefore \triangle GAE∽△CAD\triangle CAD，
∴AEAG=ADAC\therefore \frac{AE}{AG}=\frac{AD}{AC}，
∴AE4=68\therefore \frac{AE}{4}=\frac{6}{8}，
∴AE=3\therefore AE=3.

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