如图，连接$OB$，

$\because$将等边$\triangle ABC$折叠，使得点$B$恰好落在$AC$边上的点$D$处，
$\therefore EF$是$BD$的对称轴，
$\therefore OB=OD$，
$\because AD=2$，$AC=6$，
$\therefore CD=4$，
$\therefore C_{\triangle OCD}=OD+OC+CD=OB+OC+CD=OB+OC+4$，
$\therefore$当$B$、$O$、$C$三点共线时，$\triangle OCD$周长最小值为$4+BC=10$.
故答案为：$10$.

如图，连接$OB$，

$\because$将等边$\triangle ABC$折叠，使得点$B$恰好落在$AC$边上的点$D$处，
$\therefore EF$是$BD$的对称轴，
$\therefore OB=OD$，
$\because AD=2$，$AC=6$，
$\therefore CD=4$，
$\therefore C_{\triangle OCD}=OD+OC+CD=OB+OC+CD=OB+OC+4$，
$\therefore$当$B$、$O$、$C$三点共线时，$\triangle OCD$周长最小值为$4+BC=10$.
故答案为：$10$.