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九年级数学解答题一般
题目
如图,在矩形纸片ABCDABCD中,AD=10AD=10,AB=8AB=8,点EE是边BCBC上的点,联结AEAE,将△ABE\triangle ABE沿AEAE翻折,使点BB落在B\’{B\’}处；点FF是边CDCD上的点,联结EFEF,将△CEF\triangle CEF沿EFEF翻折,使点CC恰好落在线段EB\’EB\’上,记作点C\’{C\’},联结AC\’AC\’.如果CF=3CF=3,那么tan⁡∠B\’AC\’=______.\tan \angle {B\’}AC\’= \_\_\_\_\_\_.
知识点：矩形的性质、轴对称变换、作图——轴对称变换章节：第23章 图形的变换 / 23.3 轴对称变换

答案与解析

答案

∵\because四边形ABCDABCD是矩形，AD=10AD=10，AB=8AB=8，
∴∠B=∠C=90∘\therefore \angle B=\angle C=90^{\circ}，BC=AD=10BC=AD=10，
由翻折得AB\’=AB=8AB\’=AB=8，B\’E=BE{B\’}E=BE，C\’E=CE{C\’}E=CE，∠AEB\’=∠AEB=12∠BEB\’\angle AEB\’=\angle AEB=\frac{1}{2}\angle BEB\’，∠C\’EF=∠CEF=12∠CEC\’\angle {C\’}EF=\angle CEF=\frac{1}{2}\angle CEC\’，
∵\because点C\’{C\’}恰好落在线段EB\’EB\’上，
∴∠BEB\’+∠CEC\’=180∘\therefore \angle BEB\’+\angle CEC\’=180^{\circ}，EB\’⩾EC\’EB\’\geqslant EC\’，
∴∠AEB+∠CEF=12(∠BEB\’+∠CEC\’)=12×180∘=90∘\therefore \angle AEB+\angle CEF=\frac{1}{2}\left(\angle BEB\’+\angle CEC\’\right)=\frac{1}{2}\times 180^{\circ}=90^{\circ}，
∵∠AEB+∠BAE=90∘\because \angle AEB+\angle BAE=90^{\circ}，
∴∠BAE=∠CEF\therefore \angle BAE=\angle CEF，
∴BEAB=tan⁡∠BAE=tan⁡∠CEF=CFCE\therefore \frac{BE}{AB}=\tan \angle BAE=\tan \angle CEF=\frac{CF}{CE}，
∵CF=3\because CF=3，CE=10−BECE=10-BE，
∴BE8=310−BE\therefore \frac{BE}{8}=\frac{3}{10-BE}，
整理得BE2−10BE+24=0BE^{2}-10BE+24=0，
解得BE=6BE=6或BE=4(不符合题意，舍去)BE=4(不符合题意，舍去)，
∴B\’E=BE=6\therefore {B\’}E=BE=6，C\’E=CE=10−6=4{C\’}E=CE=10-6=4，
∴B\’C\’=B\’E−C\’E=6−4=2\therefore {B\’}{C\’}={B\’}E-{C\’}E=6-4=2，
∴tan⁡∠B\’AC\’=B′C′AB′=28=14\therefore \tan \angle {B\’}AC\’=\frac{B′C′}{AB′}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}，
故答案为：14\frac{1}{4}.

解析

∵\because四边形ABCDABCD是矩形，AD=10AD=10，AB=8AB=8，
∴∠B=∠C=90∘\therefore \angle B=\angle C=90^{\circ}，BC=AD=10BC=AD=10，
由翻折得AB\’=AB=8AB\’=AB=8，B\’E=BE{B\’}E=BE，C\’E=CE{C\’}E=CE，∠AEB\’=∠AEB=12∠BEB\’\angle AEB\’=\angle AEB=\frac{1}{2}\angle BEB\’，∠C\’EF=∠CEF=12∠CEC\’\angle {C\’}EF=\angle CEF=\frac{1}{2}\angle CEC\’，
∵\because点C\’{C\’}恰好落在线段EB\’EB\’上，
∴∠BEB\’+∠CEC\’=180∘\therefore \angle BEB\’+\angle CEC\’=180^{\circ}，EB\’⩾EC\’EB\’\geqslant EC\’，
∴∠AEB+∠CEF=12(∠BEB\’+∠CEC\’)=12×180∘=90∘\therefore \angle AEB+\angle CEF=\frac{1}{2}\left(\angle BEB\’+\angle CEC\’\right)=\frac{1}{2}\times 180^{\circ}=90^{\circ}，
∵∠AEB+∠BAE=90∘\because \angle AEB+\angle BAE=90^{\circ}，
∴∠BAE=∠CEF\therefore \angle BAE=\angle CEF，
∴BEAB=tan⁡∠BAE=tan⁡∠CEF=CFCE\therefore \frac{BE}{AB}=\tan \angle BAE=\tan \angle CEF=\frac{CF}{CE}，
∵CF=3\because CF=3，CE=10−BECE=10-BE，
∴BE8=310−BE\therefore \frac{BE}{8}=\frac{3}{10-BE}，
整理得BE2−10BE+24=0BE^{2}-10BE+24=0，
解得BE=6BE=6或BE=4(不符合题意，舍去)BE=4(不符合题意，舍去)，
∴B\’E=BE=6\therefore {B\’}E=BE=6，C\’E=CE=10−6=4{C\’}E=CE=10-6=4，
∴B\’C\’=B\’E−C\’E=6−4=2\therefore {B\’}{C\’}={B\’}E-{C\’}E=6-4=2，
∴tan⁡∠B\’AC\’=B′C′AB′=28=14\therefore \tan \angle {B\’}AC\’=\frac{B′C′}{AB′}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}，
故答案为：14\frac{1}{4}.

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