A

当$BE=\frac{4}{3}$时，$\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3}$，
$\because BD=1$，$AB=3$
$\therefore \frac{BD}{AB}=\frac{1}{3}=\frac{BE}{BC}$，
又$\because \angle B=\angle B$，
$\therefore \triangle DBE$∽$\triangle ABC$，
$\therefore \angle BED=\angle C$，
$\therefore DE$∥$AC$；故$Ⅰ$正确；
过点${B\’}$作${B\’}F\bot AC$，连接$DF$，
$\therefore {B\’}F\geqslant DF-DB\’$，
$\therefore$当$D$，${B\’}$，$F$三点共线时，${B\’}F$的值最小，即点${B\’}$到$AC$的距离最小，如图，

$\because \angle B=90^{\circ}$，$AB=3$，$BC=4$，$BD=1$，
$\therefore AC=\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5$，$AD=2$
$\because \angle AFD=\angle B$，$\angle A=\angle A$，
$\therefore \triangle AFD$∽$\triangle ABC$，
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{FD}{BC}$，即：$\frac{2}{5}=\frac{FD}{4}$，
$\therefore DF=\frac{8}{5}$，
由折叠的性质得：$BD={B\’}D=1$，
$\therefore B′F=\frac{8}{5}-1=\frac{3}{5}$，
$\therefore$点${B\’}$到$AC$的距离的最小值是$\frac{3}{5}$，故$Ⅱ$错误；
故选：$A$.