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八年级数学解答题中等
题目
如图，已知：一次函数 y=kx+by=kx+b 经过点 A(2,0)A(2,0) 和点 B(0,4)B(0,4).
（1）求一次函数的解析式：
(2) 点 C 在 y 轴正半轴上，点 D 在直线 AB 上， ∠ACD=90∘\angle ACD = 90^\circ，AC = CD，求 △ACD\triangle ACD 的面积。
(3) 在 (2) 的条件下，在 x 轴上取点 E，满足 △ACE\triangle ACE 为等腰三角形，直接写出点 E 的坐标，的坐标，不必写理由。
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第17题图
知识点：一次函数、全等三角形的判定、等腰三角形的性质章节：第一章 三角形 / 1.1 认识三角形

答案与解析

答案

（1）将点 A（2，0）和点 B（0，4）代入 y=kx+by = kx + b，
∴{b=42k+b=0\therefore \begin{cases} b = 4 \\ 2k + b = 0 \end{cases}， 解得 {k=−2b=4\begin{cases} k = -2 \\ b = 4 \end{cases}，
∴y=−2x+4\therefore y = -2x + 4： .....2 分

(2) 过点 D 作 DM⊥y 轴交于 M,
∵∠ACD=90∘\because \angle ACD = 90^{\circ},
∴∠ACO+∠MCD=90∘\therefore \angle ACO + \angle MCD = 90^{\circ},
∴∠ACO+∠CAO=90∘\therefore \angle ACO + \angle CAO = 90^{\circ},
∴∠MCD=∠CAO\therefore \angle MCD = \angle CAO,
∵AC=DC\because AC = DC,
∴△CDM≅△ACO\therefore \triangle CDM \cong \triangle ACO (AAS),
∴AO=CM=2\therefore AO = CM = 2, CO = MD,
设 C (0, m),
∴D(m,2+m)\therefore D(m, 2+m),
∴−2m+4=m+2\therefore -2m+4=m+2, 解得 m=23m=\frac{2}{3},
∴C(0,23)\therefore C(0, \frac{2}{3}).
在 Rt △AOC\triangle AOC 中, AO=2AO=2, OC=23OC=\frac{2}{3}
由勾股定理得 AC2=AO2+OC2AC^{2}=AO^{2}+OC^{2}
∴AC=AO2+OC2=22+(23)2=2103\therefore AC=\sqrt{AO^{2}+OC^{2}}=\sqrt{2^{2}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}}=\frac{2\sqrt{10}}{3}
∵\because 由题知 △ACD\triangle ACD 为等腰直角三角形
∴S△ACD=12AC×CD=12×2103×2103−209\therefore S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\times CD=\frac{1}{2}\times\frac{2\sqrt{10}}{3}\times\frac{2\sqrt{10}}{3}-\frac{20}{9}

（3）点E坐标为 (−2,0)(-2,0)、 (2−2103,0)(2-\frac{2\sqrt{10}}{3},0)、 (2+2103,0)(2+\frac{2\sqrt{10}}{3},0)、 (89,0)(\frac{8}{9},0)

解析

（1）将点 A（2，0）和点 B（0，4）代入 y=kx+by = kx + b，
∴{b=42k+b=0\therefore \begin{cases} b = 4 \\ 2k + b = 0 \end{cases}， 解得 {k=−2b=4\begin{cases} k = -2 \\ b = 4 \end{cases}，
∴y=−2x+4\therefore y = -2x + 4： .....2 分

(2) 过点 D 作 DM⊥y 轴交于 M,
∵∠ACD=90∘\because \angle ACD = 90^{\circ},
∴∠ACO+∠MCD=90∘\therefore \angle ACO + \angle MCD = 90^{\circ},
∴∠ACO+∠CAO=90∘\therefore \angle ACO + \angle CAO = 90^{\circ},
∴∠MCD=∠CAO\therefore \angle MCD = \angle CAO,
∵AC=DC\because AC = DC,
∴△CDM≅△ACO\therefore \triangle CDM \cong \triangle ACO (AAS),
∴AO=CM=2\therefore AO = CM = 2, CO = MD,
设 C (0, m),
∴D(m,2+m)\therefore D(m, 2+m),
∴−2m+4=m+2\therefore -2m+4=m+2, 解得 m=23m=\frac{2}{3},
∴C(0,23)\therefore C(0, \frac{2}{3}).
在 Rt △AOC\triangle AOC 中, AO=2AO=2, OC=23OC=\frac{2}{3}
由勾股定理得 AC2=AO2+OC2AC^{2}=AO^{2}+OC^{2}
∴AC=AO2+OC2=22+(23)2=2103\therefore AC=\sqrt{AO^{2}+OC^{2}}=\sqrt{2^{2}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}}=\frac{2\sqrt{10}}{3}
∵\because 由题知 △ACD\triangle ACD 为等腰直角三角形
∴S△ACD=12AC×CD=12×2103×2103−209\therefore S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\times CD=\frac{1}{2}\times\frac{2\sqrt{10}}{3}\times\frac{2\sqrt{10}}{3}-\frac{20}{9}

（3）点E坐标为 (−2,0)(-2,0)、 (2−2103,0)(2-\frac{2\sqrt{10}}{3},0)、 (2+2103,0)(2+\frac{2\sqrt{10}}{3},0)、 (89,0)(\frac{8}{9},0)

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