$(1)$证明：连接$BD$，

$\because$在等边$\triangle ABC$，且$D$是$AC$的中点，
$\therefore ∠DBC=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$，$\angle ACB=60^{\circ}$，
$\because CE=CD$，
$\therefore \angle CDE=\angle E$，
$\because \angle ACB=\angle CDE+\angle E$，
$\therefore \angle E=30^{\circ}$，
$\therefore \angle DBC=\angle E=30^{\circ}$，
$\therefore BD=ED$，
又$\because DM\bot BC$，
$\therefore M$是$BE$的中点；
$(2)$由（1）可知：$\angle ACB=60^{\circ}$，$M$是$BE$的中点，
$\because DM\bot BE$，
$\therefore \angle DME=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CDM=30^{\circ}$，
$\therefore CD=2CM$，
$\because CM=2$，
$\therefore CD=4$，
$\because CD=CE$
$\therefore CE=4$，
$\therefore ME=CM+CE=6$，
$\because M$是$BE$的中点
$\therefore BE=2ME=12$.

$(1)$证明：连接$BD$，

$\because$在等边$\triangle ABC$，且$D$是$AC$的中点，
$\therefore ∠DBC=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$，$\angle ACB=60^{\circ}$，
$\because CE=CD$，
$\therefore \angle CDE=\angle E$，
$\because \angle ACB=\angle CDE+\angle E$，
$\therefore \angle E=30^{\circ}$，
$\therefore \angle DBC=\angle E=30^{\circ}$，
$\therefore BD=ED$，
又$\because DM\bot BC$，
$\therefore M$是$BE$的中点；
$(2)$由（1）可知：$\angle ACB=60^{\circ}$，$M$是$BE$的中点，
$\because DM\bot BE$，
$\therefore \angle DME=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CDM=30^{\circ}$，
$\therefore CD=2CM$，
$\because CM=2$，
$\therefore CD=4$，
$\because CD=CE$
$\therefore CE=4$，
$\therefore ME=CM+CE=6$，
$\because M$是$BE$的中点
$\therefore BE=2ME=12$.