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八年级数学解答题一般
题目
阅读理解,自主探究:
"一线三垂直"模型是"一线三等角"模型的特殊情况,即三个等角角度为90∘90^{\circ},于是有三组边相互垂直.所以称为"一线三垂直模型".当模型中有一组对应边长相等时,则模型中必定存在全等三角形.
(1)(1)问题解决:如图11,在等腰直角△ABC\triangle ABC中,∠ACB=90∘\angle ACB=90^{\circ},AC=BCAC=BC,过点CC作直线DEDE,AD⊥DEAD\bot DE于DD,BE⊥DEBE\bot DE于EE,求证:△ADC\triangle ADC≌△CEB\triangle CEB；
(2)(2)问题探究:如图22,在等腰直角△ABC\triangle ABC中,∠ACB=90∘\angle ACB=90^{\circ},AC=BCAC=BC,过点CC作直线CECE,AD⊥CEAD\bot CE于DD,BE⊥CEBE\bot CE于EE,AD=2.5cmAD=2.5cm,DE=1.7cmDE=1.7cm,求BEBE的长；
(3)(3)拓展延伸:如图33,在平面直角坐标系中,A(−1,0)A\left(-1,0\right),C(1,3)C\left(1,3\right),△ABC\triangle ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90∘\angle ACB=90^{\circ},AC=BCAC=BC,求BB点坐标.
知识点：轴对称——最短路线问题、路线选择问题章节：第23章 图形的变换 / 23.3 轴对称变换

答案与解析

答案

(1)(1)证明：∵AD⊥DE\because AD\bot DE，BE⊥DEBE\bot DE，
∴∠ADC=∠CEB=90∘\therefore \angle ADC=\angle CEB=90^{\circ}，
∵∠ACB=90∘\because \angle ACB=90^{\circ}，
∴∠ACD+∠ECB=90∘\therefore \angle ACD+\angle ECB=90^{\circ}，∠DAC+∠ACD=90∘\angle DAC+\angle ACD=90^{\circ}，
∴∠DAC=∠ECB\therefore \angle DAC=\angle ECB，
在△ADC\triangle ADC和△CEB\triangle CEB中，
{∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECBAC=CB\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB}\\{∠DAC=∠ECB}\\{AC=CB}\end{array}\right.，
∴△ADC\therefore \triangle ADC≌△CEB(AAS)\triangle CEB\left(AAS\right)；
(2)(2)∵BE⊥CE\because BE\bot CE，AD⊥CEAD\bot CE，
∴∠ADC=∠CEB=90∘\therefore \angle ADC=\angle CEB=90^{\circ}，
∴∠CBE+∠ECB=90∘\therefore \angle CBE+\angle ECB=90^{\circ}，
∵∠ACB=90∘\because \angle ACB=90^{\circ}，
∴∠ECB+∠ACD=90∘\therefore \angle ECB+\angle ACD=90^{\circ}，
∴∠ACD=∠CBE\therefore \angle ACD=\angle CBE，
在△ADC\triangle ADC和△CEB\triangle CEB中，
{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB}\\{∠ACD=∠CBE}\\{AC=CB}\end{array}\right.，
∴△ADC\therefore \triangle ADC≌△CEB(AAS)\triangle CEB\left(AAS\right)，
∴AD=CE=2.5cm\therefore AD=CE=2.5cm，CD=BECD=BE，
∴BE=CD=CE−DE=2.5−1.7=0.8(cm)\therefore BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8\left(cm\right)，
即BEBE的长为0.8cm0.8cm；
(3)(3)如图33，过点CC作直线ll∥xx轴，交yy轴于点GG，过AA作AE⊥lAE\bot l于点EE，过BB作BF⊥lBF\bot l于点FF，交xx轴于点HH，
则∠AEC=∠CFB=∠ACB=90∘\angle AEC=\angle CFB=\angle ACB=90^{\circ}，
∵A(−1,0)\because A\left(-1,0\right)，C(1,3)C\left(1,3\right)，
∴EG=OA=1\therefore EG=OA=1，CG=1CG=1，FH=AE=OG=3FH=AE=OG=3，
∴CE=EG+CG=2\therefore CE=EG+CG=2，
∵∠ACE+∠EAC=90∘\because \angle ACE+\angle EAC=90^{\circ}，∠ACE+∠FCB=90∘\angle ACE+\angle FCB=90^{\circ}，
∴∠EAC=∠FCB\therefore \angle EAC=\angle FCB，
在△AEC\triangle AEC和△CFB\triangle CFB中，
{∠AEC=∠CFB∠EAC=∠FCBAC=CB\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠CFB}\\{∠EAC=∠FCB}\\{AC=CB}\end{array}\right.，
∴△AEC\therefore \triangle AEC≌△CFB(AAS)\triangle CFB\left(AAS\right)，
∴AE=CF=3\therefore AE=CF=3，BF=CE=2BF=CE=2，
∴FG=CG+CF=1+3=4\therefore FG=CG+CF=1+3=4，BH=FH−BF=3−2=1BH=FH-BF=3-2=1，
∴B\therefore B点坐标为(4,1)\left(4,1\right).

解析

(1)(1)证明：∵AD⊥DE\because AD\bot DE，BE⊥DEBE\bot DE，
∴∠ADC=∠CEB=90∘\therefore \angle ADC=\angle CEB=90^{\circ}，
∵∠ACB=90∘\because \angle ACB=90^{\circ}，
∴∠ACD+∠ECB=90∘\therefore \angle ACD+\angle ECB=90^{\circ}，∠DAC+∠ACD=90∘\angle DAC+\angle ACD=90^{\circ}，
∴∠DAC=∠ECB\therefore \angle DAC=\angle ECB，
在△ADC\triangle ADC和△CEB\triangle CEB中，
{∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECBAC=CB\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB}\\{∠DAC=∠ECB}\\{AC=CB}\end{array}\right.，
∴△ADC\therefore \triangle ADC≌△CEB(AAS)\triangle CEB\left(AAS\right)；
(2)(2)∵BE⊥CE\because BE\bot CE，AD⊥CEAD\bot CE，
∴∠ADC=∠CEB=90∘\therefore \angle ADC=\angle CEB=90^{\circ}，
∴∠CBE+∠ECB=90∘\therefore \angle CBE+\angle ECB=90^{\circ}，
∵∠ACB=90∘\because \angle ACB=90^{\circ}，
∴∠ECB+∠ACD=90∘\therefore \angle ECB+\angle ACD=90^{\circ}，
∴∠ACD=∠CBE\therefore \angle ACD=\angle CBE，
在△ADC\triangle ADC和△CEB\triangle CEB中，
{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB}\\{∠ACD=∠CBE}\\{AC=CB}\end{array}\right.，
∴△ADC\therefore \triangle ADC≌△CEB(AAS)\triangle CEB\left(AAS\right)，
∴AD=CE=2.5cm\therefore AD=CE=2.5cm，CD=BECD=BE，
∴BE=CD=CE−DE=2.5−1.7=0.8(cm)\therefore BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8\left(cm\right)，
即BEBE的长为0.8cm0.8cm；
(3)(3)如图33，过点CC作直线ll∥xx轴，交yy轴于点GG，过AA作AE⊥lAE\bot l于点EE，过BB作BF⊥lBF\bot l于点FF，交xx轴于点HH，
则∠AEC=∠CFB=∠ACB=90∘\angle AEC=\angle CFB=\angle ACB=90^{\circ}，
∵A(−1,0)\because A\left(-1,0\right)，C(1,3)C\left(1,3\right)，
∴EG=OA=1\therefore EG=OA=1，CG=1CG=1，FH=AE=OG=3FH=AE=OG=3，
∴CE=EG+CG=2\therefore CE=EG+CG=2，
∵∠ACE+∠EAC=90∘\because \angle ACE+\angle EAC=90^{\circ}，∠ACE+∠FCB=90∘\angle ACE+\angle FCB=90^{\circ}，
∴∠EAC=∠FCB\therefore \angle EAC=\angle FCB，
在△AEC\triangle AEC和△CFB\triangle CFB中，
{∠AEC=∠CFB∠EAC=∠FCBAC=CB\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠CFB}\\{∠EAC=∠FCB}\\{AC=CB}\end{array}\right.，
∴△AEC\therefore \triangle AEC≌△CFB(AAS)\triangle CFB\left(AAS\right)，
∴AE=CF=3\therefore AE=CF=3，BF=CE=2BF=CE=2，
∴FG=CG+CF=1+3=4\therefore FG=CG+CF=1+3=4，BH=FH−BF=3−2=1BH=FH-BF=3-2=1，
∴B\therefore B点坐标为(4,1)\left(4,1\right).

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