A

$\because$在$\triangle ABC$中，$AC$的垂直平分线$l$交$BC$于点$D$，
$\therefore AD=CD$，
$\therefore \angle C=\angle DAC=37^{\circ}$.
$\because AB=AC$，
$\therefore \angle B=\angle C=37^{\circ}$，
所以$\angle B$的度数为$37^{\circ}$.
故选：$A$.