$(1)$证明：在$\triangle ABC$中，$AB \gt AC$，点$D$为$BC$的中点，$DE\bot BC$，$EM\bot AB$、$EN\bot AC$，$BM=CN$，
$\therefore \angle EMB=\angle ENC=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle BME$和$\triangle CNE$是直角三角形，
$\therefore BE=CE$，
在$Rt\triangle BME$和$Rt\triangle CNE$，
$\left\{\begin{array}{l}BE=CE\\ BM=CN\end{array}\right.$，
$\therefore Rt\triangle BME$≌$Rt\triangle CNE\left(HL\right)$，
$\therefore EM=EN$，
$\therefore AE$平分$\angle BAC$；
$(2)$如图：

$\because \angle ACE=100^{\circ}$，
$\therefore \angle ECN=180^{\circ}-\angle ACE=180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ}$，
$\because Rt\triangle BME$≌$Rt\triangle CNE$，
$\therefore \angle EBM=\angle ECN$，
$\because BE=CE$，$EH=EC$，
$\therefore$分两种情况：
当点$H$与点$B$重合时，$\angle AEH=\angle EBM=\angle ECN=80^{\circ}$，
当点$H$与点$B$不重合时，则$BE=EH$，
$\therefore \angle EHB=\angle EBM=\angle ECN=80^{\circ}$，
$\therefore \angle AEH=180^{\circ}-\angle EHN=180^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ}$，
故答案为：$80$或$100$.

$(1)$证明：在$\triangle ABC$中，$AB \gt AC$，点$D$为$BC$的中点，$DE\bot BC$，$EM\bot AB$、$EN\bot AC$，$BM=CN$，
$\therefore \angle EMB=\angle ENC=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle BME$和$\triangle CNE$是直角三角形，
$\therefore BE=CE$，
在$Rt\triangle BME$和$Rt\triangle CNE$，
$\left\{\begin{array}{l}BE=CE\\ BM=CN\end{array}\right.$，
$\therefore Rt\triangle BME$≌$Rt\triangle CNE\left(HL\right)$，
$\therefore EM=EN$，
$\therefore AE$平分$\angle BAC$；
$(2)$如图：

$\because \angle ACE=100^{\circ}$，
$\therefore \angle ECN=180^{\circ}-\angle ACE=180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ}$，
$\because Rt\triangle BME$≌$Rt\triangle CNE$，
$\therefore \angle EBM=\angle ECN$，
$\because BE=CE$，$EH=EC$，
$\therefore$分两种情况：
当点$H$与点$B$重合时，$\angle AEH=\angle EBM=\angle ECN=80^{\circ}$，
当点$H$与点$B$不重合时，则$BE=EH$，
$\therefore \angle EHB=\angle EBM=\angle ECN=80^{\circ}$，
$\therefore \angle AEH=180^{\circ}-\angle EHN=180^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ}$，
故答案为：$80$或$100$.