（1）在$Rt\triangle BC$中，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
$\therefore CP=2t-5$；
$(2)\because S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}CP\cdot AB=\frac{1}{2}\times \left(2t-5\right)\times 4=4t-10$，$S_{\triangle DEP}=\frac{1}{2}DE\cdot DP=\frac{1}{2}\times 8\times \left(2t-5-4\right)=8t-36$，$\frac{S_{△ACP}}{S_{△DEP}}=\frac{3}{2}$，
$\therefore \frac{4t-10}{8t-36}=\frac{3}{2}$，
$\therefore t=\frac{11}{2}$；
$(3)$①当点$P$在线段$AC$上时，
很明显$\triangle ABP$是钝角三角形，显然不可能，
②当点$P$在线段$CD$上时，
很明显$\triangle ABP$是钝角三角形，显然也不可能，
③当点$P$在线段$CD$的延长线上时，
当$\angle APE=90^{\circ} AP=EP$时，
$\because AP\bot PE$，

$\therefore \angle 1+\angle 2=90^{\circ}$，
$\because DE\bot CD$，
$\therefore \angle 2+\angle 3=90^{\circ}$，
$\therefore \angle 1=\angle 3$，
在$\triangle ABP$和$\triangle PDE$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠B=∠EDP=90°\\ AP=PE\\∠1=∠3\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ABP$≌$\triangle PDE\left(ASA\right)$，
$\therefore AB=DP=4$，
$\therefore CP=CD+DP=4+4=8$，
$\therefore 2t-5=8$，
$\therefore t=\frac{13}{2}$，
②当$\angle AEP=90^{\circ}$，$AE=EP$时，

同理可得$,\triangle AEK$≌$EPD$，
$\therefore AK=DE=7$，
$\therefore EK=DP=11$，
$\therefore CP=15$，
$\therefore 2t-5=15$，
$\therefore t=10$，
综上所述，若$\triangle AEP$是以$EP$为腰的等腰直角三角形，$t$的值为$\frac{13}{2}$或$10$.

（1）在$Rt\triangle BC$中，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
$\therefore CP=2t-5$；
$(2)\because S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}CP\cdot AB=\frac{1}{2}\times \left(2t-5\right)\times 4=4t-10$，$S_{\triangle DEP}=\frac{1}{2}DE\cdot DP=\frac{1}{2}\times 8\times \left(2t-5-4\right)=8t-36$，$\frac{S_{△ACP}}{S_{△DEP}}=\frac{3}{2}$，
$\therefore \frac{4t-10}{8t-36}=\frac{3}{2}$，
$\therefore t=\frac{11}{2}$；
$(3)$①当点$P$在线段$AC$上时，
很明显$\triangle ABP$是钝角三角形，显然不可能，
②当点$P$在线段$CD$上时，
很明显$\triangle ABP$是钝角三角形，显然也不可能，
③当点$P$在线段$CD$的延长线上时，
当$\angle APE=90^{\circ} AP=EP$时，
$\because AP\bot PE$，

$\therefore \angle 1+\angle 2=90^{\circ}$，
$\because DE\bot CD$，
$\therefore \angle 2+\angle 3=90^{\circ}$，
$\therefore \angle 1=\angle 3$，
在$\triangle ABP$和$\triangle PDE$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠B=∠EDP=90°\\ AP=PE\\∠1=∠3\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ABP$≌$\triangle PDE\left(ASA\right)$，
$\therefore AB=DP=4$，
$\therefore CP=CD+DP=4+4=8$，
$\therefore 2t-5=8$，
$\therefore t=\frac{13}{2}$，
②当$\angle AEP=90^{\circ}$，$AE=EP$时，

同理可得$,\triangle AEK$≌$EPD$，
$\therefore AK=DE=7$，
$\therefore EK=DP=11$，
$\therefore CP=15$，
$\therefore 2t-5=15$，
$\therefore t=10$，
综上所述，若$\triangle AEP$是以$EP$为腰的等腰直角三角形，$t$的值为$\frac{13}{2}$或$10$.