①$\because \triangle ABC$为等腰直角三角形，
$\therefore \angle ABC=90^{\circ}$，$AB=BC$，$\angle ACB=\angle CAB=45^{\circ}$，
$\because AD$∥$BC$，
$\therefore \angle DAB=\angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CAD=\angle DAB+\angle 3=135^{\circ}$，
$\because AD=AC$，
$\therefore \angle D=\angle ABD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle CAD)=22.5^{\circ}$，
$\because AF=AB$，
$\therefore \angle AFB=\angle ABF=45^{\circ}$，
$\because \angle AFB=\angle D+\angle FGD$，
$\therefore \angle FGD=\angle AFB-\angle D=45^{\circ}-22.5^{\circ}=22.5^{\circ}$，
$\therefore \angle FGD=\angle D=\angle EGB=22.5^{\circ}$，
$\therefore GD=DF$，
$\because AF$∥$BC$，$AF=AB=BC$，
$\therefore$四边形$ACBF$是平行四边形，
$\therefore BF=AC=AD$，
$\therefore BF-GF=AD-DF$，
$\therefore BG=AF=AB$，
$\therefore \angle BGA=\angle BAG=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABF)=67.5^{\circ}$，
$\therefore \angle AGE=\angle BGA-\angle EGB=45^{\circ}$，
故①正确；
②过点$C$作$CM\bot AD$交$DA$的延长线于$M$，如图所示：

$\because AD$∥$BC,\angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle M=\angle BAM=\angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$ABCM$是矩形，
又$\because AB=BC$，
$\therefore$矩形$ABCM$是正方形，
$\therefore AM=BC=AB=CM$，
又$\because AD=AC$，
$\therefore MD=AD+AM=AC+BC$，
在$Rt\triangle CMD$中，$\angle M=90^{\circ}$，
$\therefore CD \gt MD$，
$\therefore CD \gt AC+BC$，
故②不正确；
③$\because \angle BGA=\angle BAG=67.5^{\circ}$，$\angle AGE=45^{\circ}$，
$\therefore \angle EAG=67.5^{\circ}$，
$\therefore \angle AEG=180^{\circ}-\left(\angle BGA+\angle AGE\right)=67.5^{\circ}$，
$\therefore \angle EAG=\angle AEG=67.5^{\circ}$，
故③正确；
④$\because \angle FAG=\angle DAB-\angle BAG=90^{\circ}-67.5^{\circ}=22.5^{\circ}$，
$\therefore \angle EGB=\angle FAG=22.5^{\circ}$，
$\because AB=AF$，
$\therefore \angle ABF=\angle AFB=45^{\circ}$
在$\triangle BEG$和$\triangle FAG$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGB=∠FAG}\\{BG=AF}\\{∠ABF=∠AFB}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BEG$≌$\triangle FAG\left(ASA\right)$，
$\therefore S_{\triangle BEG}=S_{\triangle FAG}$，
$\therefore S_{\triangle ABG}=S_{\triangle AEG}+S_{\triangle BEG}=S_{\triangle AEG}+S_{\triangle FAG}=S_{四边形AEGF}$，
故④正确，
综上所述：正确的是①③④.
故答案为：①③④.

①$\because \triangle ABC$为等腰直角三角形，
$\therefore \angle ABC=90^{\circ}$，$AB=BC$，$\angle ACB=\angle CAB=45^{\circ}$，
$\because AD$∥$BC$，
$\therefore \angle DAB=\angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CAD=\angle DAB+\angle 3=135^{\circ}$，
$\because AD=AC$，
$\therefore \angle D=\angle ABD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle CAD)=22.5^{\circ}$，
$\because AF=AB$，
$\therefore \angle AFB=\angle ABF=45^{\circ}$，
$\because \angle AFB=\angle D+\angle FGD$，
$\therefore \angle FGD=\angle AFB-\angle D=45^{\circ}-22.5^{\circ}=22.5^{\circ}$，
$\therefore \angle FGD=\angle D=\angle EGB=22.5^{\circ}$，
$\therefore GD=DF$，
$\because AF$∥$BC$，$AF=AB=BC$，
$\therefore$四边形$ACBF$是平行四边形，
$\therefore BF=AC=AD$，
$\therefore BF-GF=AD-DF$，
$\therefore BG=AF=AB$，
$\therefore \angle BGA=\angle BAG=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABF)=67.5^{\circ}$，
$\therefore \angle AGE=\angle BGA-\angle EGB=45^{\circ}$，
故①正确；
②过点$C$作$CM\bot AD$交$DA$的延长线于$M$，如图所示：

$\because AD$∥$BC,\angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle M=\angle BAM=\angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$ABCM$是矩形，
又$\because AB=BC$，
$\therefore$矩形$ABCM$是正方形，
$\therefore AM=BC=AB=CM$，
又$\because AD=AC$，
$\therefore MD=AD+AM=AC+BC$，
在$Rt\triangle CMD$中，$\angle M=90^{\circ}$，
$\therefore CD \gt MD$，
$\therefore CD \gt AC+BC$，
故②不正确；
③$\because \angle BGA=\angle BAG=67.5^{\circ}$，$\angle AGE=45^{\circ}$，
$\therefore \angle EAG=67.5^{\circ}$，
$\therefore \angle AEG=180^{\circ}-\left(\angle BGA+\angle AGE\right)=67.5^{\circ}$，
$\therefore \angle EAG=\angle AEG=67.5^{\circ}$，
故③正确；
④$\because \angle FAG=\angle DAB-\angle BAG=90^{\circ}-67.5^{\circ}=22.5^{\circ}$，
$\therefore \angle EGB=\angle FAG=22.5^{\circ}$，
$\because AB=AF$，
$\therefore \angle ABF=\angle AFB=45^{\circ}$
在$\triangle BEG$和$\triangle FAG$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGB=∠FAG}\\{BG=AF}\\{∠ABF=∠AFB}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BEG$≌$\triangle FAG\left(ASA\right)$，
$\therefore S_{\triangle BEG}=S_{\triangle FAG}$，
$\therefore S_{\triangle ABG}=S_{\triangle AEG}+S_{\triangle BEG}=S_{\triangle AEG}+S_{\triangle FAG}=S_{四边形AEGF}$，
故④正确，
综上所述：正确的是①③④.
故答案为：①③④.