如图$1$,在长方形$ABCD$中,$AB=6cm$,$BC=8cm$.点$P$从点$B$出发,以$1cm/s$的速度沿$BC$方向运动到点$C$停止,点$Q$从点$C$出发,以$2cm/s$的速度沿$C-B-C$方向运动到点$C$停止,连接$DP$、$DQ$；若$P$、$Q$两点同时出发,设点$P$的运动时间为$t$秒$\left(t \gt 0\right)$,$\triangle DPQ$的面积为$S cm^{2}(S \gt 0)$.

$(1)$当$t=1$时,$PQ=$______；当$t=3$时,$PQ=\_\_\_\_\_\_.$
$(2)$当点$P$和点$Q$相遇时,求$t$的值.
$(3)$当$0 \lt t\leqslant 4$时,用含$t$的代数式表示$S$.
$(4)$如图$2$,在点$P$和点$Q$不重合的情况下,连接$AP$,当以$A$、$P$、$Q$、$D$为顶点的四边形的面积是长方形$ABCD$的面积的$\frac{2}{3}$时,直接写出$t$的值.