如图,抛物线$y=x^{2}+bx-3$与$x$轴交于$A$,$B$两点,与$y$轴交于$C$点,且$B\left(3,0\right)$.
$(1)$求抛物线的函数关系式；
$(2)$求点$A$和顶点$D$的坐标；
$(3)$若点$M$是抛物线对称轴上的一个动点,求$CM+AM$的最小值.