$(1)$证明：$\because$直线$l$是点$B$，${B\’}$的对称轴，点$C$，${C\’}$在$l$上，

$\therefore CB=CB\’$，${C\’}B={C\’}{B\’}$，

$\therefore AC+CB=AC+CB\’=AB\’$，

在$\triangle AC\’{B\’}$中，$\because AB\’ \lt AC\’+{C\’}{B\’}$，

$\therefore AC+CB \lt AC\’+{C\’}B$，

即$AC+CB$的值最小；

$(2)$$\because AD$是$\angle BAC$的平分线，

$\therefore$可在$AC$上找到点$E$关于直线$AD$对称的对称点${E\’}$，

作出点${E\’}$，连接$PE\’$，则$PE\’=PE$，$PE+PB=PE\’+PB$，

过点$B$作$BF\bot AC$，如图，

由垂线段最短可知，当点$B$、$P$、${E\’}$三点共线，且$BE\’$垂直$AC$时，$PE+PB$有最小值，即$PE+PB$的最小值是$BF$的长度，

$\because$等边三角形每条边上的高相等，

$\therefore PE+PB$的最小值为$BF=AD=4$，

故答案为：$4$；

$(3)$取点$N$关于$AD$的对称点$E$.

$\because AD$平分$\angle BAC$，

$\therefore$点$E$在$AB$上.

$\because$点$N$与点$E$关于$AD$对称，

$\therefore MN=ME$.

$\therefore CM+MN=CM+ME$.

当$CE\bot AB$时，$CE$有最小值，即$CM+MN$有最小值.

$\because \angle BCA=90^{\circ}$，$BC=6$，$CA=8$，$AB=10$，

$\therefore AC\cdot BC=AB\cdot CE$，即$10CE=6\times 8$，

解得$CE=4.8$.

故答案为：$4.8$.

$(1)$证明：$\because$直线$l$是点$B$，${B\’}$的对称轴，点$C$，${C\’}$在$l$上，

$\therefore CB=CB\’$，${C\’}B={C\’}{B\’}$，

$\therefore AC+CB=AC+CB\’=AB\’$，

在$\triangle AC\’{B\’}$中，$\because AB\’ \lt AC\’+{C\’}{B\’}$，

$\therefore AC+CB \lt AC\’+{C\’}B$，

即$AC+CB$的值最小；

$(2)$$\because AD$是$\angle BAC$的平分线，

$\therefore$可在$AC$上找到点$E$关于直线$AD$对称的对称点${E\’}$，

作出点${E\’}$，连接$PE\’$，则$PE\’=PE$，$PE+PB=PE\’+PB$，

过点$B$作$BF\bot AC$，如图，

由垂线段最短可知，当点$B$、$P$、${E\’}$三点共线，且$BE\’$垂直$AC$时，$PE+PB$有最小值，即$PE+PB$的最小值是$BF$的长度，

$\because$等边三角形每条边上的高相等，

$\therefore PE+PB$的最小值为$BF=AD=4$，

故答案为：$4$；

$(3)$取点$N$关于$AD$的对称点$E$.

$\because AD$平分$\angle BAC$，

$\therefore$点$E$在$AB$上.

$\because$点$N$与点$E$关于$AD$对称，

$\therefore MN=ME$.

$\therefore CM+MN=CM+ME$.

当$CE\bot AB$时，$CE$有最小值，即$CM+MN$有最小值.

$\because \angle BCA=90^{\circ}$，$BC=6$，$CA=8$，$AB=10$，

$\therefore AC\cdot BC=AB\cdot CE$，即$10CE=6\times 8$，

解得$CE=4.8$.

故答案为：$4.8$.