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如图$1$,"智慧小组"在探究"将军饮马问题"时抽象出数学模型:直线$l$同旁有两个定点$A$,$B$,在直线$l$上存在点$C$,使得$CA+CB$的值最小.
"智慧小组"的作法是:如图$2$,作点$B$关于直线$l$的对称点${B\’}$,连接$AB\’$,则$AB$与直线$l$的交点即为点$C$,且$CA+CB$的最小值为$AB\’$的长.

如图$3$,为了证明点$C$的位置即为所求,"智慧小组"经探究发现,在直线上另外取点${C\’}$,连接$AC\’$,$BC\’$,${B\’}{C\’}$,证明$AC+BC \lt AC\’+BC\’$即可.
$(1)$请完成图$3$中的证明；
$(2)$如图$4$,在等边$\triangle ABC$中,$E$是$AB$中点,$AD$是$\angle BAC$的平分线,$P$是$AD$上的动点.若$AD=4$,则$PE+PB$的最小值是______；

$(3)$如图$5$,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=8$,$BC=6$,$AB=10$,$AD$平分$\angle BAC$,分别在$AD$,$AC$上取点$M$,$N$,连接$CM$,$MN$,则$CM+MN$的最小值是______.