作$N$点关于$BD$的对称点${N\’}$，连接$CN\’$，过$C$作$CE\bot AB$于点$E$，

$\because BD$是$\angle ABC$的角平分线，

$\therefore {N\’}$必在$AB$上，

$\therefore MN+MC=MN\’+CM\geqslant CN\’\geqslant CE$，

$\therefore$当$CN\’=CE$时，$MN+MC$的值最小，

$\because S_{\triangle ABC}=10$，$AB=4$，

$\therefore \frac{1}{2}AB\cdot CE=10$，

$\therefore CE=5$，

$\therefore MN+MC$的最小值是$5$，

故答案为：$5$.

作$N$点关于$BD$的对称点${N\’}$，连接$CN\’$，过$C$作$CE\bot AB$于点$E$，

$\because BD$是$\angle ABC$的角平分线，

$\therefore {N\’}$必在$AB$上，

$\therefore MN+MC=MN\’+CM\geqslant CN\’\geqslant CE$，

$\therefore$当$CN\’=CE$时，$MN+MC$的值最小，

$\because S_{\triangle ABC}=10$，$AB=4$，

$\therefore \frac{1}{2}AB\cdot CE=10$，

$\therefore CE=5$，

$\therefore MN+MC$的最小值是$5$，

故答案为：$5$.