D

如图所示：将$\triangle ACD$沿$AD$翻折得到$\triangle ADC\’$，连接$DC\’$，过点${C\’}$作${C\’}M\bot AC$于$M$，交$AD$于$N$，
$\because AD$是$\angle CAB$的角平分线，
$\therefore \triangle ACD$与$\triangle ADC\’$关于$AD$对称.
$\therefore$点${C\’}$在$AB$上.
由翻折的性质可知：$AC\’=AC=4$，$NC=NC\’$，
$\therefore MN+NC=MN+NC\’$，
由垂线段最短可知：当${C\’}M\bot AC$时，${C\’}M$有最小值.
在$Rt\triangle ACB$中，$AB=\sqrt{A{C}^{2}+C{B}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}=5$.
$\therefore \sin \angle CAB=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$，
在$Rt\triangle AMC\’$中，$\sin \angle MAC\’=\frac{MC′}{AC′}$，
即$\frac{MC′}{4}=\frac{3}{5}$，
$\therefore MC\’=\frac{12}{5}$，
故选：$D$.