$\left(1\right)\because AD\bot DE$于$D$，$\angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle D=90^{\circ}$，$\angle DAC+\angle DCA=90^{\circ}$，$\angle BCE+\angle DCA=90^{\circ}$，
即$\angle DAC=\angle BCE$，
$\because BE\bot DE$，
$\therefore \angle E=\angle D=90^{\circ}$，
$\because AC=BC$，
$\therefore \triangle ADC$≌$\triangle CEB\left(AAS\right)$；
$(2)\because \angle ACB=90^{\circ}$，$BE\bot CE$，
$\therefore \angle BCE+\angle ACD=90^{\circ}$，$\angle BCE+\angle CBE=90^{\circ}$，$\angle E=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CBE=\angle ACD$，
$\because AD\bot CE$，
$\therefore \angle ADC=\angle E=90^{\circ}$，
$\because AC=BC$，
$\therefore \triangle ADC$≌$\triangle CEB\left(AAS\right)$，
则$AD=CE=3.2cm$，$CD=BE$，
$\because DE=2.3cm$，
$\therefore CD=CE-DE=\left(3.2-2.3\right)cm=0.9cm$，
即$BE=0.9cm$；
$(3)$①过点$B$作$BE\bot y$轴，过点$A$作$AD\bot EB$的延长线，如图：

因为$\angle ABC=90^{\circ}$，过点$A$作$AD\bot EB$的延长线，
$\therefore \angle CBE+\angle ABD=90^{\circ}$，$\angle BAD+\angle ABD=90^{\circ}$，$\angle D=90^{\circ}$，
$\because$过点$B$作$BE\bot y$轴，
$\therefore \angle CEB=90^{\circ}$，
$\because AC=BC$，
$\therefore \triangle ADB$≌$\triangle BEC\left(AAS\right)$，
$\therefore AD=EB$，$CE=BD$，
$\because$点$B$在第一、第三象限的角平分线$l$上.点$C$在$y$轴上，
$\therefore$设点$B$的坐标为$\left(a,a\right)$，$C\left(0,b\right)$，
$\because AD=EB$，$CE=BD$，$A\left(5,2\right)$，
$\therefore 2-a=a$，$b-a=5-a$，
解得$a=1$，$b=5$，
故点$C$的坐标为$\left(0,5\right)$；
②$\angle ABC=90^{\circ}$，$AB=BC$，过点$B$作$BE\bot y$轴，过点$A$作射线$AF$∥$x$轴，且过点$B$作$DB\bot AD$，如图：

易知$\angle EBD=90^{\circ}$，
因为$\angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CBE=\angle ABD$，
$\because$过点$B$作$BE\bot y$轴，过点$B$作$DB\bot AD$，
$\therefore \angle CEB=\angle D=90^{\circ}$，
$\because AC=BC$，
$\therefore \triangle ADB$≌$\triangle CEB\left(AAS\right)$，
$\therefore AD=CE$，$BD=EB$，
$\because$点$B$在第一、第三象限的角平分线$l$上.点$C$在$y$轴上，
$\therefore$设点$B$的坐标为$\left(a,a\right)$，$C\left(0,b\right)$，
$\because AD=CE$，$BD=EB$，$A\left(5,2\right)$，
$\therefore a-5=b-a$，$a-2=a$，
此时$a$无解，
当$\angle BAC=90^{\circ}$，$AC=BA$，过点$A$作直线$l$∥$x$轴，与$y$轴交于点$D$，过点$B$作$BE\bot l$于点$E$，如图：

$\because \angle BAC=90^{\circ}$，$\angle ADC=\angle AEB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DAC+\angle DCA=90^{\circ}=\angle DAC+\angle BAE$，
即$\therefore \angle DCA=\angle BAE$，
$\because AC=AB$，
$\therefore \triangle ADC$≌$\triangle BEA\left(AAS\right)$，
$\therefore AD=EB$，$CD=AE$，
$\because$点$B$在第一、第三象限的角平分线$l$上.点$C$在$y$轴上，
$\therefore$设点$B$的坐标为$\left(a,a\right)$，$C\left(0,b\right)$，
$\because AD=EB$，$CD=AE$，$A\left(5,2\right)$，
$\therefore 5=a-2$，$b-2=a-5$，
解得$a=7$，$b=4$，
故点$C$的坐标为$\left(0,4\right)$；
当$\angle BAC=90^{\circ}$，$AC=BA$，过点$A$作直线$l$∥$y$轴，过点$B$作$BE\bot l$于点$E$，过点$C$作$CD\bot l$于点$D$，如图：

$\because \angle BAC=90^{\circ}$，$\angle ADC=\angle AEB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DAC+\angle DCA=90^{\circ}=\angle DAC+\angle BAE$，
即$\therefore \angle DCA=\angle BAE$，
$\because AC=AB$，
$\therefore \triangle ADC$≌$\triangle BEA\left(AAS\right)$，
$\therefore AD=EB$，$CD=AE$，
$\because$点$B$在第一、第三象限的角平分线$l$上.点$C$在$y$轴上，
$\therefore$设点$B$的坐标为$\left(a,a\right)$，$C\left(0,b\right)$，
$\because AD=EB$，$CD=AE$，$A\left(5,2\right)$，
$\therefore b-2=-a+5$，$5=2-a$，
解得$a=-3$，$b=10$，
故点$C$的坐标为$\left(0,10\right)$；
当$\angle ACB=90^{\circ}$时，$AC=BC$，过点$C$作直线$l$∥$x$轴，过点$B$作$BE\bot l$于点$E$，过点$A$作$AD\bot l$于点$D$，如图：

$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$\angle ADC=\angle CEB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DAC+\angle DCA=90^{\circ}=\angle DAC+\angle BCE$，
即$\angle DCA=\angle BCE$，
$\because AC=CB$，
$\therefore \triangle ADC$≌$\triangle CEB\left(AAS\right)$，
$\therefore AD=EB$，$CD=AE$，
$\because$点$B$在第一、第三象限的角平分线$l$上.点$C$在$y$轴上，
$\therefore$设点$B$的坐标为$\left(a,a\right)$，$C\left(0,b\right)$，
$\because AD=CE$，$CD=BE$，$A\left(5,2\right)$，
$\therefore b-2=-a$，$5=b-a$，
解得$a=-\frac{3}{2}，b=\frac{7}{2}$，
故点$C$的坐标为$(0，\frac{7}{2})$；
综上，其他符合条件的$C$点的坐标为$\left(0,4\right)$，$\left(0,10\right)$，$(0，\frac{7}{2})$.

$\left(1\right)\because AD\bot DE$于$D$，$\angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle D=90^{\circ}$，$\angle DAC+\angle DCA=90^{\circ}$，$\angle BCE+\angle DCA=90^{\circ}$，
即$\angle DAC=\angle BCE$，
$\because BE\bot DE$，
$\therefore \angle E=\angle D=90^{\circ}$，
$\because AC=BC$，
$\therefore \triangle ADC$≌$\triangle CEB\left(AAS\right)$；
$(2)\because \angle ACB=90^{\circ}$，$BE\bot CE$，
$\therefore \angle BCE+\angle ACD=90^{\circ}$，$\angle BCE+\angle CBE=90^{\circ}$，$\angle E=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CBE=\angle ACD$，
$\because AD\bot CE$，
$\therefore \angle ADC=\angle E=90^{\circ}$，
$\because AC=BC$，
$\therefore \triangle ADC$≌$\triangle CEB\left(AAS\right)$，
则$AD=CE=3.2cm$，$CD=BE$，
$\because DE=2.3cm$，
$\therefore CD=CE-DE=\left(3.2-2.3\right)cm=0.9cm$，
即$BE=0.9cm$；
$(3)$①过点$B$作$BE\bot y$轴，过点$A$作$AD\bot EB$的延长线，如图：

因为$\angle ABC=90^{\circ}$，过点$A$作$AD\bot EB$的延长线，
$\therefore \angle CBE+\angle ABD=90^{\circ}$，$\angle BAD+\angle ABD=90^{\circ}$，$\angle D=90^{\circ}$，
$\because$过点$B$作$BE\bot y$轴，
$\therefore \angle CEB=90^{\circ}$，
$\because AC=BC$，
$\therefore \triangle ADB$≌$\triangle BEC\left(AAS\right)$，
$\therefore AD=EB$，$CE=BD$，
$\because$点$B$在第一、第三象限的角平分线$l$上.点$C$在$y$轴上，
$\therefore$设点$B$的坐标为$\left(a,a\right)$，$C\left(0,b\right)$，
$\because AD=EB$，$CE=BD$，$A\left(5,2\right)$，
$\therefore 2-a=a$，$b-a=5-a$，
解得$a=1$，$b=5$，
故点$C$的坐标为$\left(0,5\right)$；
②$\angle ABC=90^{\circ}$，$AB=BC$，过点$B$作$BE\bot y$轴，过点$A$作射线$AF$∥$x$轴，且过点$B$作$DB\bot AD$，如图：

易知$\angle EBD=90^{\circ}$，
因为$\angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CBE=\angle ABD$，
$\because$过点$B$作$BE\bot y$轴，过点$B$作$DB\bot AD$，
$\therefore \angle CEB=\angle D=90^{\circ}$，
$\because AC=BC$，
$\therefore \triangle ADB$≌$\triangle CEB\left(AAS\right)$，
$\therefore AD=CE$，$BD=EB$，
$\because$点$B$在第一、第三象限的角平分线$l$上.点$C$在$y$轴上，
$\therefore$设点$B$的坐标为$\left(a,a\right)$，$C\left(0,b\right)$，
$\because AD=CE$，$BD=EB$，$A\left(5,2\right)$，
$\therefore a-5=b-a$，$a-2=a$，
此时$a$无解，
当$\angle BAC=90^{\circ}$，$AC=BA$，过点$A$作直线$l$∥$x$轴，与$y$轴交于点$D$，过点$B$作$BE\bot l$于点$E$，如图：

$\because \angle BAC=90^{\circ}$，$\angle ADC=\angle AEB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DAC+\angle DCA=90^{\circ}=\angle DAC+\angle BAE$，
即$\therefore \angle DCA=\angle BAE$，
$\because AC=AB$，
$\therefore \triangle ADC$≌$\triangle BEA\left(AAS\right)$，
$\therefore AD=EB$，$CD=AE$，
$\because$点$B$在第一、第三象限的角平分线$l$上.点$C$在$y$轴上，
$\therefore$设点$B$的坐标为$\left(a,a\right)$，$C\left(0,b\right)$，
$\because AD=EB$，$CD=AE$，$A\left(5,2\right)$，
$\therefore 5=a-2$，$b-2=a-5$，
解得$a=7$，$b=4$，
故点$C$的坐标为$\left(0,4\right)$；
当$\angle BAC=90^{\circ}$，$AC=BA$，过点$A$作直线$l$∥$y$轴，过点$B$作$BE\bot l$于点$E$，过点$C$作$CD\bot l$于点$D$，如图：

$\because \angle BAC=90^{\circ}$，$\angle ADC=\angle AEB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DAC+\angle DCA=90^{\circ}=\angle DAC+\angle BAE$，
即$\therefore \angle DCA=\angle BAE$，
$\because AC=AB$，
$\therefore \triangle ADC$≌$\triangle BEA\left(AAS\right)$，
$\therefore AD=EB$，$CD=AE$，
$\because$点$B$在第一、第三象限的角平分线$l$上.点$C$在$y$轴上，
$\therefore$设点$B$的坐标为$\left(a,a\right)$，$C\left(0,b\right)$，
$\because AD=EB$，$CD=AE$，$A\left(5,2\right)$，
$\therefore b-2=-a+5$，$5=2-a$，
解得$a=-3$，$b=10$，
故点$C$的坐标为$\left(0,10\right)$；
当$\angle ACB=90^{\circ}$时，$AC=BC$，过点$C$作直线$l$∥$x$轴，过点$B$作$BE\bot l$于点$E$，过点$A$作$AD\bot l$于点$D$，如图：

$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$\angle ADC=\angle CEB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DAC+\angle DCA=90^{\circ}=\angle DAC+\angle BCE$，
即$\angle DCA=\angle BCE$，
$\because AC=CB$，
$\therefore \triangle ADC$≌$\triangle CEB\left(AAS\right)$，
$\therefore AD=EB$，$CD=AE$，
$\because$点$B$在第一、第三象限的角平分线$l$上.点$C$在$y$轴上，
$\therefore$设点$B$的坐标为$\left(a,a\right)$，$C\left(0,b\right)$，
$\because AD=CE$，$CD=BE$，$A\left(5,2\right)$，
$\therefore b-2=-a$，$5=b-a$，
解得$a=-\frac{3}{2}，b=\frac{7}{2}$，
故点$C$的坐标为$(0，\frac{7}{2})$；
综上，其他符合条件的$C$点的坐标为$\left(0,4\right)$，$\left(0,10\right)$，$(0，\frac{7}{2})$.