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八年级数学填空题一般
题目
【课题回顾】
在学习《13.413.4课题学习最短路径问题》时,根据"两点之间,线段最短"和"垂线段最短"探究了"将军饮马"和"造桥选址"两个问题,并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题.
【问题探究】
如图11,在等边△ABC\triangle ABC中,点DD为BCBC中点,点PP,QQ分别为ACAC,BCBC上的点,AP=CQ=2AP=CQ=2,DQ=1DQ=1,点MM是线段ADAD上的动点,连接MPMP,MQMQ,求MP+MQMP+MQ的最小值.
(1)(1)小明提出的探究思路如下:如图22,作点QQ关于直线ADAD的对称点Q\’{Q\’},连接PQ\’PQ\’交ADAD于点MM,连接MQMQ,根据"两点之间,线段最短",可知此时MP+MQMP+MQ的值最小.
①请你运用小明的探究思路,证明此时MP+MQMP+MQ的值最小；
②求MP+MQMP+MQ的最小值.
【类比探究】
(2)(2)如图33,在平面直角坐标系中,点AA坐标为(4,0)\left(4,0\right),点BB为yy轴正半轴上一点,连接ABAB,∠ABO=30∘\angle ABO=30^{\circ},点CC为ABAB中点,ODOD平分∠AOB\angle AOB交边ABAB于点DD,点PP为边OBOB上的一个动点.若点MM在线段ODOD上,连接MCMC,MPMP,当MC+MPMC+MP的值最小时,请直接写出点PP的坐标______.
知识点：轴对称——最短路线问题、作图—应用与设计作图、路线选择问题章节：第26章 综合运用数学知识解决实际问题 / 26.2 应用举例

答案与解析

答案

(1)(1)①证明：∵△ABC\because \triangle ABC是等边三角形，点DD为BCBC中点，
∴AD⊥BC\therefore AD\bot BC，
∵\because点QQ，Q\’{Q\’}关于直线ADAD的对称，
∴DQ\’=DQ\therefore DQ\’=DQ，
∴MQ\’=MQ\therefore MQ\’=MQ，
∴PM+MQ=PM+MQ\’=PQ\’\therefore PM+MQ=PM+MQ\’=PQ\’，
∵\because两点之间，线段最短，
∴\therefore此时MP+MQMP+MQ的值最小；
②∵AP=CQ=2\because AP=CQ=2，DQ=1DQ=1，
∴DQ\’=DQ=1\therefore DQ\’=DQ=1，AC=BC=2CD=2×(2+1)=6AC=BC=2CD=2\times \left(2+1\right)=6，
∴PC=CQ\’=4\therefore PC=CQ\’=4，
∵∠C=60∘\because \angle C=60^{\circ}，
∴△PCQ\’\therefore \triangle PCQ\’是等边三角形，
∴PQ\’=PC=4\therefore PQ\’=PC=4，
∴MP+MQ\therefore MP+MQ的最小值=PQ\’=4=PQ\’=4；
(2)(2)作点CC关于直线ODOD的对称点EE，连接OCOC，OEOE，

则ODOD垂直平分CECE，
∴∠COD=∠EOD\therefore \angle COD=\angle EOD，OE=OEOE=OE，
过EE作EP⊥OBEP\bot OB于PP交ODOD于MM，
则此时，MC+MPMC+MP的值最小，
∵\because点AA坐标为(4,0)\left(4,0\right)，
∴OA=4\therefore OA=4，
∵∠ABO=30∘\because \angle ABO=30^{\circ}，
∴AB=2OA=8\therefore AB=2OA=8，
∵\because点CC为ABAB中点，
∴OC=OE=OB=12AB=4\therefore OC=OE=OB=\frac{1}{2}AB=4，
∴∠BOC=∠CBO=30∘\therefore \angle BOC=\angle CBO=30^{\circ}，
∵OD\because OD平分∠AOB\angle AOB交边ABAB于点DD，
∴∠BOD=∠AOD\therefore \angle BOD=\angle AOD，
∴∠BOC=∠AOE=30∘\therefore \angle BOC=\angle AOE=30^{\circ}，
∵EP⊥y\because EP\bot y轴，
∴EP\therefore EP∥OAOA，
∴∠PEO=∠EOA=30∘\therefore \angle PEO=\angle EOA=30^{\circ}，
∴OP=12OE=2\therefore OP=\frac{1}{2}OE=2，
∴P(0,2)\therefore P\left(0,2\right).
故答案为：(0,2)\left(0,2\right).

解析

(1)(1)①证明：∵△ABC\because \triangle ABC是等边三角形，点DD为BCBC中点，
∴AD⊥BC\therefore AD\bot BC，
∵\because点QQ，Q\’{Q\’}关于直线ADAD的对称，
∴DQ\’=DQ\therefore DQ\’=DQ，
∴MQ\’=MQ\therefore MQ\’=MQ，
∴PM+MQ=PM+MQ\’=PQ\’\therefore PM+MQ=PM+MQ\’=PQ\’，
∵\because两点之间，线段最短，
∴\therefore此时MP+MQMP+MQ的值最小；
②∵AP=CQ=2\because AP=CQ=2，DQ=1DQ=1，
∴DQ\’=DQ=1\therefore DQ\’=DQ=1，AC=BC=2CD=2×(2+1)=6AC=BC=2CD=2\times \left(2+1\right)=6，
∴PC=CQ\’=4\therefore PC=CQ\’=4，
∵∠C=60∘\because \angle C=60^{\circ}，
∴△PCQ\’\therefore \triangle PCQ\’是等边三角形，
∴PQ\’=PC=4\therefore PQ\’=PC=4，
∴MP+MQ\therefore MP+MQ的最小值=PQ\’=4=PQ\’=4；
(2)(2)作点CC关于直线ODOD的对称点EE，连接OCOC，OEOE，

则ODOD垂直平分CECE，
∴∠COD=∠EOD\therefore \angle COD=\angle EOD，OE=OEOE=OE，
过EE作EP⊥OBEP\bot OB于PP交ODOD于MM，
则此时，MC+MPMC+MP的值最小，
∵\because点AA坐标为(4,0)\left(4,0\right)，
∴OA=4\therefore OA=4，
∵∠ABO=30∘\because \angle ABO=30^{\circ}，
∴AB=2OA=8\therefore AB=2OA=8，
∵\because点CC为ABAB中点，
∴OC=OE=OB=12AB=4\therefore OC=OE=OB=\frac{1}{2}AB=4，
∴∠BOC=∠CBO=30∘\therefore \angle BOC=\angle CBO=30^{\circ}，
∵OD\because OD平分∠AOB\angle AOB交边ABAB于点DD，
∴∠BOD=∠AOD\therefore \angle BOD=\angle AOD，
∴∠BOC=∠AOE=30∘\therefore \angle BOC=\angle AOE=30^{\circ}，
∵EP⊥y\because EP\bot y轴，
∴EP\therefore EP∥OAOA，
∴∠PEO=∠EOA=30∘\therefore \angle PEO=\angle EOA=30^{\circ}，
∴OP=12OE=2\therefore OP=\frac{1}{2}OE=2，
∴P(0,2)\therefore P\left(0,2\right).
故答案为：(0,2)\left(0,2\right).

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