【课题回顾】
在学习《$13.4$课题学习最短路径问题》时,根据"两点之间,线段最短"和"垂线段最短"探究了"将军饮马"和"造桥选址"两个问题,并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题.
【问题探究】
如图$1$,在等边$\triangle ABC$中,点$D$为$BC$中点,点$P$,$Q$分别为$AC$,$BC$上的点,$AP=CQ=2$,$DQ=1$,点$M$是线段$AD$上的动点,连接$MP$,$MQ$,求$MP+MQ$的最小值.
$(1)$小明提出的探究思路如下:如图$2$,作点$Q$关于直线$AD$的对称点${Q\’}$,连接$PQ\’$交$AD$于点$M$,连接$MQ$,根据"两点之间,线段最短",可知此时$MP+MQ$的值最小.
①请你运用小明的探究思路,证明此时$MP+MQ$的值最小；
②求$MP+MQ$的最小值.
【类比探究】
$(2)$如图$3$,在平面直角坐标系中,点$A$坐标为$\left(4,0\right)$,点$B$为$y$轴正半轴上一点,连接$AB$,$\angle ABO=30^{\circ}$,点$C$为$AB$中点,$OD$平分$\angle AOB$交边$AB$于点$D$,点$P$为边$OB$上的一个动点.若点$M$在线段$OD$上,连接$MC$,$MP$,当$MC+MP$的值最小时,请直接写出点$P$的坐标______.