$\triangle ABC$中,$BC=12$,$D$、$E$分别在$AB$、$AC$上,$\angle ACB=\angle ADE$,联结$DC$,作$\angle MEN=\angle DCB$交$DC$于$M$,交$BC$于$N$,$EN$交$DC$于$O$.
$(1)$如图$1$,$AB=AC$,$BD=2AD$,$DC=10$.
①求$\angle DCB$的正弦值；
②若$DM:MO=7:18$,求$DM$；
$(2)$如图$2$,$∠MEN=∠ABC=4{5}°,EC=\sqrt{2}DE$,联结$MN$,若四边形$MNCE$为梯形,请直接写出$DM$的长.