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八年级数学填空题一般
题目
在四边形ABCDABCD中,有下列几个命题:
①若BDBD平分∠ABC\angle ABC,∠BAD+∠BCD=180∘\angle BAD+\angle BCD=180^{\circ},则AD=DCAD=DC；
②若BDBD平分∠ABC\angle ABC,AD=DCAD=DC,则∠BAD+∠BCD=180∘\angle BAD+\angle BCD=180^{\circ}；
③若BDBD平分∠ABC\angle ABC,∠BAD+∠BCD=180∘\angle BAD+\angle BCD=180^{\circ},且∠BAD>∠BCD\angle BAD \gt \angle BCD,DE⊥BCDE\bot BC,则BC−AB=2ECBC-AB=2EC；
④若∠BAD+∠BCD=180∘\angle BAD+\angle BCD=180^{\circ},AD=DCAD=DC,则BDBD平分∠ABC\angle ABC.
其中真命题有______.
知识点：平行线的判定、平行线的性质、勾股定理、直角三角形的性质、平行四边形的性质、锐角三角函数的定义、平行线的判定与性质章节：第一章 三角形 / 1.1 认识三角形

答案与解析

答案

①过点DD作DG⊥ABDG\bot AB于点GG，DH⊥BCDH\bot BC于点HH，则∠G=∠DHC=90∘\angle G=\angle DHC=90^{\circ}，

∵BD\because BD平分∠ABC\angle ABC，
∴DG=DH\therefore DG=DH，
∵∠BAD+∠BCD=180∘\because \angle BAD+\angle BCD=180^{\circ}，∠BAD+∠GAD=180∘\angle BAD+\angle GAD=180^{\circ}，
∴∠BCD=∠GAD\therefore \angle BCD=\angle GAD，
在△AGD\triangle AGD和△CHD\triangle CHD中，
{∠GAD=∠BCD∠G=∠DHCDG=DH\left\{\begin{array}{l}{∠GAD=∠BCD}\\{∠G=∠DHC}\\{DG=DH}\end{array}\right.，
∴△AGD\therefore \triangle AGD≌△CHD(AAS)\triangle CHD\left(AAS\right)，
∴AD=CD\therefore AD=CD，
故①正确；
②过点DD作DG⊥ABDG\bot AB于点GG，DH⊥BCDH\bot BC于点HH，则∠G=∠DHC=90∘\angle G=\angle DHC=90^{\circ}，

∵BD\because BD平分∠ABC\angle ABC，
∴DG=DH\therefore DG=DH，
在Rt△AGDRt\triangle AGD和Rt△CHDRt\triangle CHD中，
{AD=CDDG=DH\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{DG=DH}\end{array}\right.，
∴Rt△AGD\therefore Rt\triangle AGD≌Rt△CHD(HL)Rt\triangle CHD\left(HL\right)，
∴∠DAG=∠BCD\therefore \angle DAG=\angle BCD，
∵∠BAD+∠DAG=180∘\because \angle BAD+\angle DAG=180^{\circ}，
∴∠BAD+∠BCD=180∘\therefore \angle BAD+\angle BCD=180^{\circ}，
故②正确；
③过点DD作DG⊥ABDG\bot AB于点GG，则∠G=∠DEC=90∘\angle G=\angle DEC=90^{\circ}，

同理①可得△AGD\triangle AGD≌△CED(AAS)\triangle CED\left(AAS\right)，
在Rt△BDGRt\triangle BDG和Rt△BDERt\triangle BDE中，
{DG=DEBD=BD\left\{\begin{array}{l}{DG=DE}\\{BD=BD}\end{array}\right.，
∴△BDG\therefore \triangle BDG≌△BDE(HL)\triangle BDE\left(HL\right)，
∴BG=BE\therefore BG=BE，
∴AG=CE\therefore AG=CE，
∵BC=BE+CE=BG+CE\because BC=BE+CE=BG+CE，
∴BC−AB=BG+CE−AB=AG+CE=2CE\therefore BC-AB=BG+CE-AB=AG+CE=2CE，
故③正确；
④过点DD作DG⊥ABDG\bot AB于点GG，DH⊥BCDH\bot BC于点HH，则∠G=∠DHC=90∘\angle G=\angle DHC=90^{\circ}，

∵∠BAD+∠BCD=180∘\because \angle BAD+\angle BCD=180^{\circ}，∠BAD+∠GAD=180∘\angle BAD+\angle GAD=180^{\circ}，
∴∠BCD=∠GAD\therefore \angle BCD=\angle GAD，
在△AGD\triangle AGD和△CHD\triangle CHD中，
{∠G=∠DHC∠GAD=∠BCDAD=CD\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠DHC}\\{∠GAD=∠BCD}\\{AD=CD}\end{array}\right.，
∴△AGD\therefore \triangle AGD≌△CHD(AAS)\triangle CHD\left(AAS\right)，
∴DG=DH\therefore DG=DH，
∵DG⊥AB\because DG\bot AB于点GG，DH⊥BCDH\bot BC于点HH，
∴BD\therefore BD平方∠ABC\angle ABC，
故④正确；
故答案为：①②③④.

解析

①过点DD作DG⊥ABDG\bot AB于点GG，DH⊥BCDH\bot BC于点HH，则∠G=∠DHC=90∘\angle G=\angle DHC=90^{\circ}，

∵BD\because BD平分∠ABC\angle ABC，
∴DG=DH\therefore DG=DH，
∵∠BAD+∠BCD=180∘\because \angle BAD+\angle BCD=180^{\circ}，∠BAD+∠GAD=180∘\angle BAD+\angle GAD=180^{\circ}，
∴∠BCD=∠GAD\therefore \angle BCD=\angle GAD，
在△AGD\triangle AGD和△CHD\triangle CHD中，
{∠GAD=∠BCD∠G=∠DHCDG=DH\left\{\begin{array}{l}{∠GAD=∠BCD}\\{∠G=∠DHC}\\{DG=DH}\end{array}\right.，
∴△AGD\therefore \triangle AGD≌△CHD(AAS)\triangle CHD\left(AAS\right)，
∴AD=CD\therefore AD=CD，
故①正确；
②过点DD作DG⊥ABDG\bot AB于点GG，DH⊥BCDH\bot BC于点HH，则∠G=∠DHC=90∘\angle G=\angle DHC=90^{\circ}，

∵BD\because BD平分∠ABC\angle ABC，
∴DG=DH\therefore DG=DH，
在Rt△AGDRt\triangle AGD和Rt△CHDRt\triangle CHD中，
{AD=CDDG=DH\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{DG=DH}\end{array}\right.，
∴Rt△AGD\therefore Rt\triangle AGD≌Rt△CHD(HL)Rt\triangle CHD\left(HL\right)，
∴∠DAG=∠BCD\therefore \angle DAG=\angle BCD，
∵∠BAD+∠DAG=180∘\because \angle BAD+\angle DAG=180^{\circ}，
∴∠BAD+∠BCD=180∘\therefore \angle BAD+\angle BCD=180^{\circ}，
故②正确；
③过点DD作DG⊥ABDG\bot AB于点GG，则∠G=∠DEC=90∘\angle G=\angle DEC=90^{\circ}，

同理①可得△AGD\triangle AGD≌△CED(AAS)\triangle CED\left(AAS\right)，
在Rt△BDGRt\triangle BDG和Rt△BDERt\triangle BDE中，
{DG=DEBD=BD\left\{\begin{array}{l}{DG=DE}\\{BD=BD}\end{array}\right.，
∴△BDG\therefore \triangle BDG≌△BDE(HL)\triangle BDE\left(HL\right)，
∴BG=BE\therefore BG=BE，
∴AG=CE\therefore AG=CE，
∵BC=BE+CE=BG+CE\because BC=BE+CE=BG+CE，
∴BC−AB=BG+CE−AB=AG+CE=2CE\therefore BC-AB=BG+CE-AB=AG+CE=2CE，
故③正确；
④过点DD作DG⊥ABDG\bot AB于点GG，DH⊥BCDH\bot BC于点HH，则∠G=∠DHC=90∘\angle G=\angle DHC=90^{\circ}，

∵∠BAD+∠BCD=180∘\because \angle BAD+\angle BCD=180^{\circ}，∠BAD+∠GAD=180∘\angle BAD+\angle GAD=180^{\circ}，
∴∠BCD=∠GAD\therefore \angle BCD=\angle GAD，
在△AGD\triangle AGD和△CHD\triangle CHD中，
{∠G=∠DHC∠GAD=∠BCDAD=CD\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠DHC}\\{∠GAD=∠BCD}\\{AD=CD}\end{array}\right.，
∴△AGD\therefore \triangle AGD≌△CHD(AAS)\triangle CHD\left(AAS\right)，
∴DG=DH\therefore DG=DH，
∵DG⊥AB\because DG\bot AB于点GG，DH⊥BCDH\bot BC于点HH，
∴BD\therefore BD平方∠ABC\angle ABC，
故④正确；
故答案为：①②③④.

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