B

如图：
过$A$作$AM\bot$直线$b$于$M$，过$D$作$DN\bot$直线$c$于$N$，
则$\angle AMD=\angle DNC=90^{\circ}$，
$\because$直线$b$∥直线$c$，$DN\bot$直线$c$，
$\therefore \angle 2+\angle 3=90^{\circ}$，
$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AD=DC$，$\angle 1+\angle 2=90^{\circ}$，
$\therefore \angle 1=\angle 3$，
在$\triangle AMD$和$\triangle CND$中
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{∠AMD=∠CND}\\{AD=DC}\end{array}\right.$
$\therefore \triangle AMD$≌$\triangle CND\left(AAS\right)$，
$\therefore AM=CN$，
$\because a$与$b$之间的距离是$5$，$b$与$c$之间的距离是$7$，
$\therefore AM=CN=5$，$DN=7$，
在$Rt\triangle DNC$中，由勾股定理得：$DC^{2}=DN^{2}+CN^{2}=7^{2}+5^{2}=74$，
即正方形$ABCD$的面积为$74$，
故选：$B$.