【经典回顾】梅文鼎是我国清初著名的数学家,他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法,图$1$是其中一种方法的示意图及部分辅助线.
在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,四边形$ADEB$、$ACHI$和$BFGC$分别是以$Rt\triangle ABC$的三边为一边的正方形.延长$IH$和$FG$,交于点$L$,连结$LC$并延长交$DE$于点$J$,交$AB$于点$K$,延长$DA$交$IL$于点$M$.
$(1)$若$AB=6$,则$LC=$______；
$(2)$证明:正方形$ACHI$的面积等于四边形$ACLM$的面积；
【迁移拓展】如图$2$,四边形$ACHI$和$BFGC$分别是以$\triangle ABC$的两边为一边的平行四边形、探索在$AB$下方是否存在平行四边形$ADEB$,使得该平行四边形的面积等于平行四边形$ACHI$、$BFGC$的面积之和.若存在,作出满足条件的平行四边形$ADEB(保留适当的作图痕迹)$；若不存在,请说明理由.