C

如图，连接$DF$，
$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore$，$\angle ABE=\angle BAD=\angle ADG=\angle ECG=90^{\circ}$，$AB=AD=BC=CD=BE+EC=6$，
由翻折可知：$BE=EF=2$，$\angle BAE=\angle EAF$，$AB=AF$，$\angle ABE=\angle AFE=\angle AFG=90^{\circ}$，
$\because AG=AG$，$AD=AF$，
$\therefore Rt\triangle AGD$≌$Rt\triangle AGF\left(HL\right)$，
$\therefore DG=FG$，$\angle GAF=\angle GAD$，
$\therefore ∠EAG=∠EAF+∠GAF=\frac{1}{2}(∠BAF+∠DAF)=45°$，故①正确，
设$GD=GF=x$，
在$Rt\triangle ECG$中，
$\because EG^{2}=EC^{2}+CG^{2}$，
$\therefore \left(2+x\right)^{2}=4^{2}+\left(6-x\right)^{2}$，
$\therefore x=3$，
$\therefore DG=FG=3$，
$\therefore CG=CD-DG=3=GF$，
$\therefore \triangle GFC$是等腰三角形，
显然$\triangle GFC$不是等边三角形，则$FG\neq FC$，故②错误，
$\because GF=GD=GC$，
$\therefore \angle DFC=90^{\circ}$，
$\therefore CF\bot DF$，
$\because AD=AF$，$GD=GF$，
$\therefore AG\bot DF$，
$\therefore CF$∥$AG$，故③正确，
$\because {S}_{△ECG}=\frac{1}{2}×3×4=6$，$FG:FE=3:2$，
$\therefore FG:EG=3:5$，
$\therefore {S}_{△GFC}=\frac{3}{5}×6=3.6$，故④正确，
故选：$C$.