$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore DA=DC$，故①正确；$AO=OC$，$OD=OB$，故②错误；
$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AC\bot BD$，
$\because M$，$N$分别是$BC$，$DC$边的中点，
$\therefore MN$是$\triangle CBD$的中位线，
$\therefore MN$∥$BD$，
$\therefore MN\bot AC$，故③正确；
$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AD=AB$，
$\therefore \triangle ABD$是等腰三角形，
$\therefore \angle ABD$不一定等于$60^{\circ}$，故④错误，
故答案为：①③.

$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore DA=DC$，故①正确；$AO=OC$，$OD=OB$，故②错误；
$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AC\bot BD$，
$\because M$，$N$分别是$BC$，$DC$边的中点，
$\therefore MN$是$\triangle CBD$的中位线，
$\therefore MN$∥$BD$，
$\therefore MN\bot AC$，故③正确；
$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AD=AB$，
$\therefore \triangle ABD$是等腰三角形，
$\therefore \angle ABD$不一定等于$60^{\circ}$，故④错误，
故答案为：①③.