$(1)$证明：①$\because AD$∥$BC$，
$\therefore \angle DAE=\angle B$，
在$\triangle ADE$和$\triangle BAC$中，
$\because \left\{\begin{array}{l}{AE=BC}\\{∠DAE=∠B}\\{AD=BA}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ADE$≌$\triangle BAC\left(SAS\right)$，
$\therefore DE=AC$.
②分别过点$D$、$A$作$DM\bot AE$于点$M$，$ANL\bot BC$于点$N$，如图（1）所示：

则$\angle AMD=\angle EMD=\angle BNA=\angle CNA=90^{\circ}$，
在$\triangle ADM$和$\triangle BNA$中，
$\because \left\{\begin{array}{l}{∠AMD=∠BNA}\\{∠DAM=∠B}\\{AD=BA}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ADM$≌$\triangle BAN\left(AAS\right)$，
$\therefore DM=AN$，$AM=BN$，
在$Rt\triangle DEM$和$Rt\triangle ACN$中，
$\because \left\{\begin{array}{l}{DM=AN}\\{DE=AC}\end{array}\right.$，
$\therefore Rt\triangle DEM$≌$Rt\triangle ACN\left(HL\right)$，
$\therefore EM=CN$，
$\therefore AM+EM=BN+CN$，即$AE=BC$.
$(2)$证明：过点$D$作$DH\bot AB$交$BA$的延长线于点$H$，如图（2）所示，
则$H=90^{\circ}$，
$\because CF\bot AB$，
$\therefore \angle BFC =\angle AFC =90^{\circ}=\angle H$，
$\because AD//BC$，
$\therefore \angle DAH=\angle B$，
$\because AD=AB$，$AB=BC$，
$\therefore AD=BC$，
在$\triangle ADH$和$\triangle BCF$中，
$\because \left\{\begin{array}{l}{∠H=∠BFC}\\{∠DAH=∠CBF}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ADH$≌$\triangle BCF\left(AAS\right)$，
$\therefore DH=CF$，$AH=BF$，
在$Rt\triangle DEH$和$Rt\triangle CAF$中，
$\because \left\{\begin{array}{l}{DH=CF}\\{DE=CA}\end{array}\right.$，
$\therefore Rt\triangle DEH$≌$Rt\triangle CAF\left(HL\right)$，
$\therefore EH=AF$，
$\therefore EH-AE=AF-AE$，
即$AH=EF$，
$\therefore BF=AH=EF$，
$\therefore F$是$BE$的中点.

$(1)$证明：①$\because AD$∥$BC$，
$\therefore \angle DAE=\angle B$，
在$\triangle ADE$和$\triangle BAC$中，
$\because \left\{\begin{array}{l}{AE=BC}\\{∠DAE=∠B}\\{AD=BA}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ADE$≌$\triangle BAC\left(SAS\right)$，
$\therefore DE=AC$.
②分别过点$D$、$A$作$DM\bot AE$于点$M$，$ANL\bot BC$于点$N$，如图（1）所示：

则$\angle AMD=\angle EMD=\angle BNA=\angle CNA=90^{\circ}$，
在$\triangle ADM$和$\triangle BNA$中，
$\because \left\{\begin{array}{l}{∠AMD=∠BNA}\\{∠DAM=∠B}\\{AD=BA}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ADM$≌$\triangle BAN\left(AAS\right)$，
$\therefore DM=AN$，$AM=BN$，
在$Rt\triangle DEM$和$Rt\triangle ACN$中，
$\because \left\{\begin{array}{l}{DM=AN}\\{DE=AC}\end{array}\right.$，
$\therefore Rt\triangle DEM$≌$Rt\triangle ACN\left(HL\right)$，
$\therefore EM=CN$，
$\therefore AM+EM=BN+CN$，即$AE=BC$.
$(2)$证明：过点$D$作$DH\bot AB$交$BA$的延长线于点$H$，如图（2）所示，
则$H=90^{\circ}$，
$\because CF\bot AB$，
$\therefore \angle BFC =\angle AFC =90^{\circ}=\angle H$，
$\because AD//BC$，
$\therefore \angle DAH=\angle B$，
$\because AD=AB$，$AB=BC$，
$\therefore AD=BC$，
在$\triangle ADH$和$\triangle BCF$中，
$\because \left\{\begin{array}{l}{∠H=∠BFC}\\{∠DAH=∠CBF}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ADH$≌$\triangle BCF\left(AAS\right)$，
$\therefore DH=CF$，$AH=BF$，
在$Rt\triangle DEH$和$Rt\triangle CAF$中，
$\because \left\{\begin{array}{l}{DH=CF}\\{DE=CA}\end{array}\right.$，
$\therefore Rt\triangle DEH$≌$Rt\triangle CAF\left(HL\right)$，
$\therefore EH=AF$，
$\therefore EH-AE=AF-AE$，
即$AH=EF$，
$\therefore BF=AH=EF$，
$\therefore F$是$BE$的中点.