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八年级数学填空题一般
题目
综合与实践
【问题情境]]
课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
如图11,△ABC\triangle ABC中,若AB=6AB=6,AC=4AC=4,求BCBC边上的中线ADAD的取值范围.
小明在组内和同学们合作交流后,得到了如下的解决方法:延长ADAD到EE,使DE=ADDE=AD,连接BEBE.请根据小明的方法思考:
(1)(1)由已知和作图能得到△ADC\triangle ADC≌△EDB\triangle EDB,依据是______；
A.SSSB.AASC.SASD.HLA.SSS B.AAS C.SAS D.HL
(2)(2)由"三角形的三边关系",可求得ADAD的取值范围是______.
解后反思:题目中出现"中点""中线"等条件,可考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
[[初步运用]]
(3)(3)如图22,ADAD是△ABC\triangle ABC的中线,BEBE交ACAC于EE,交ADAD于FF,且AE=EFAE=EF.若EF=3EF=3,EC=2EC=2,求线段BFBF的长.
[[灵活运用]]
(4)(4)如图33,在△ABC\triangle ABC中,∠A=90∘\angle A=90^{\circ},DD为BCBC中点,DE⊥DFDE\bot DF,DEDE交ABAB于点EE,DFDF交ACAC于点FF,连接EFEF,试猜想线段BEBE、CFCF、EFEF三者之间的等量关系,直接写出你的结论.
知识点：三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质章节：第一章 三角形 / 1.3 探索三角形全等的条件

答案与解析

答案

(1)∵AD\left(1\right)\because AD是BCBC边上的中线，
∴CD=BD\therefore CD=BD，
在△ADC\triangle ADC和△EDB\triangle EDB中，
{CD=BD∠CDA=∠BDEAD=DE\left\{\begin{array}{l}{CD=BD}\\{∠CDA=∠BDE}\\{AD=DE}\end{array}\right.，
∴△ADC\therefore \triangle ADC≌△EDB(SAS)\triangle EDB\left(SAS\right)，
故答案为：CC；

(2)∵AB−BE<AE<AB+BE(2)\because AB-BE \lt AE \lt AB+BE，即6−4<AE<6+46-4 \lt AE \lt 6+4，
∴2<AE<10\therefore 2 \lt AE \lt 10，
∵AD=12AE\because AD=\frac{1}{2}AE，
∴1<AD<5\therefore 1 \lt AD \lt 5，
故答案为：1<AD<51 \lt AD \lt 5；

(3)(3)延长ADAD到MM，使AD=DMAD=DM，连接BMBM，如图22所示：
∵AE=EF.EF=3\because AE=EF.EF=3，
∴AC=AE+EC=3+2=5\therefore AC=AE+EC=3+2=5，
∵AD\because AD是△ABC\triangle ABC中线，
∴CD=BD\therefore CD=BD，
在△ADC\triangle ADC和△MDB\triangle MDB中，
{CD=BD∠ADC=∠MDBAD=DM\left\{\begin{array}{l}{CD=BD}\\{∠ADC=∠MDB}\\{AD=DM}\end{array}\right.，
∴△ADC\therefore \triangle ADC≌△MDB(SAS)\triangle MDB\left(SAS\right)，
∴BM=AC\therefore BM=AC，∠CAD=∠M\angle CAD=\angle M，
∵AE=EF\because AE=EF，
∴∠CAD=∠AFE\therefore \angle CAD=\angle AFE，
∵∠AFE=∠BFD\because \angle AFE=\angle BFD，
∴∠BFD=∠CAD=∠M\therefore \angle BFD=\angle CAD=\angle M，
∴BF=BM=AC\therefore BF=BM=AC，
即BF=5BF=5，
故线段BFBF的长为55；

(4)(4)线段BEBE、CFCF、EFEF之间的等量关系为：BE2+CF2=EF2BE^{2}+CF^{2}=EF^{2}，理由如下：
延长EDED到点GG，使DG=EDDG=ED，连接GFGF、GCGC，如图33所示：
∵ED⊥DF\because ED\bot DF，
∴EF=GF\therefore EF=GF，
∵D\because D是BCBC的中点，
∴BD=CD\therefore BD=CD，
在△BDE\triangle BDE和△CDG\triangle CDG中，
{ED=DG∠BDE=∠CDGBD=CD\left\{\begin{array}{l}{ED=DG}\\{∠BDE=∠CDG}\\{BD=CD}\end{array}\right.，
∴△DBE\therefore \triangle DBE≌△DCG(SAS)\triangle DCG\left(SAS\right)，
∴BE=CG\therefore BE=CG，∠B=∠GCD\angle B=\angle GCD，
∵∠A=90∘\because \angle A=90^{\circ}，
∴∠B+∠ACB=90∘\therefore \angle B+\angle ACB=90^{\circ}，
∴∠GCD+∠ACB=90∘\therefore \angle GCD+\angle ACB=90^{\circ}，即∠GCF=90∘\angle GCF=90^{\circ}，
∴Rt△CFG\therefore Rt\triangle CFG中，CG2+CF2=GF2CG^{2}+CF^{2}=GF^{2}，
∴BE2+CF2=EF2\therefore BE^{2}+CF^{2}=EF^{2}.

解析

(1)∵AD\left(1\right)\because AD是BCBC边上的中线，
∴CD=BD\therefore CD=BD，
在△ADC\triangle ADC和△EDB\triangle EDB中，
{CD=BD∠CDA=∠BDEAD=DE\left\{\begin{array}{l}{CD=BD}\\{∠CDA=∠BDE}\\{AD=DE}\end{array}\right.，
∴△ADC\therefore \triangle ADC≌△EDB(SAS)\triangle EDB\left(SAS\right)，
故答案为：CC；

(2)∵AB−BE<AE<AB+BE(2)\because AB-BE \lt AE \lt AB+BE，即6−4<AE<6+46-4 \lt AE \lt 6+4，
∴2<AE<10\therefore 2 \lt AE \lt 10，
∵AD=12AE\because AD=\frac{1}{2}AE，
∴1<AD<5\therefore 1 \lt AD \lt 5，
故答案为：1<AD<51 \lt AD \lt 5；

(3)(3)延长ADAD到MM，使AD=DMAD=DM，连接BMBM，如图22所示：
∵AE=EF.EF=3\because AE=EF.EF=3，
∴AC=AE+EC=3+2=5\therefore AC=AE+EC=3+2=5，
∵AD\because AD是△ABC\triangle ABC中线，
∴CD=BD\therefore CD=BD，
在△ADC\triangle ADC和△MDB\triangle MDB中，
{CD=BD∠ADC=∠MDBAD=DM\left\{\begin{array}{l}{CD=BD}\\{∠ADC=∠MDB}\\{AD=DM}\end{array}\right.，
∴△ADC\therefore \triangle ADC≌△MDB(SAS)\triangle MDB\left(SAS\right)，
∴BM=AC\therefore BM=AC，∠CAD=∠M\angle CAD=\angle M，
∵AE=EF\because AE=EF，
∴∠CAD=∠AFE\therefore \angle CAD=\angle AFE，
∵∠AFE=∠BFD\because \angle AFE=\angle BFD，
∴∠BFD=∠CAD=∠M\therefore \angle BFD=\angle CAD=\angle M，
∴BF=BM=AC\therefore BF=BM=AC，
即BF=5BF=5，
故线段BFBF的长为55；

(4)(4)线段BEBE、CFCF、EFEF之间的等量关系为：BE2+CF2=EF2BE^{2}+CF^{2}=EF^{2}，理由如下：
延长EDED到点GG，使DG=EDDG=ED，连接GFGF、GCGC，如图33所示：
∵ED⊥DF\because ED\bot DF，
∴EF=GF\therefore EF=GF，
∵D\because D是BCBC的中点，
∴BD=CD\therefore BD=CD，
在△BDE\triangle BDE和△CDG\triangle CDG中，
{ED=DG∠BDE=∠CDGBD=CD\left\{\begin{array}{l}{ED=DG}\\{∠BDE=∠CDG}\\{BD=CD}\end{array}\right.，
∴△DBE\therefore \triangle DBE≌△DCG(SAS)\triangle DCG\left(SAS\right)，
∴BE=CG\therefore BE=CG，∠B=∠GCD\angle B=\angle GCD，
∵∠A=90∘\because \angle A=90^{\circ}，
∴∠B+∠ACB=90∘\therefore \angle B+\angle ACB=90^{\circ}，
∴∠GCD+∠ACB=90∘\therefore \angle GCD+\angle ACB=90^{\circ}，即∠GCF=90∘\angle GCF=90^{\circ}，
∴Rt△CFG\therefore Rt\triangle CFG中，CG2+CF2=GF2CG^{2}+CF^{2}=GF^{2}，
∴BE2+CF2=EF2\therefore BE^{2}+CF^{2}=EF^{2}.

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