$(1)$证明：在$\triangle ABD$和$\triangle CDB$中，

$\left\{\begin{array}{l}AD=CB\\ AB=CD\\ BD=DB\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle ABD$≌$\triangle CDB\left(SSS\right)$，

$\therefore \angle ADB=\angle CBD$，

$\therefore AD$∥$BC$；

$(2)$当点$G$的速度为$3$个单位长度/秒或$1.5$个单位长度/秒或$1$个单位长度/秒时，会出现$\triangle DEG$与$\triangle BFG$全等的情况.

$(1)$证明：在$\triangle ABD$和$\triangle CDB$中，

$\left\{\begin{array}{l}AD=CB\\ AB=CD\\ BD=DB\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle ABD$≌$\triangle CDB\left(SSS\right)$，

$\therefore \angle ADB=\angle CBD$，

$\therefore AD$∥$BC$；

$(2)$当点$G$的速度为$3$个单位长度/秒或$1.5$个单位长度/秒或$1$个单位长度/秒时，会出现$\triangle DEG$与$\triangle BFG$全等的情况.