A

当$0 \lt x \lt 1$时，$M$、$N$分别在线段$AB$、$AD$上，

此时$AM=x cm$，$AN=2x cm$，
$y={S}_{△AMN}=\frac{1}{2}×AM×AN={x}^{2}$为二次函数，二次函数的图象为开口向上的抛物线；
当$1\leqslant x \lt 3$时，$M$、$N$分别在线段$AB$、$CD$上，

此时$AM=x cm$，$\triangle AMN$底边$AM$上的高为$AD=2cm$，
$y={S}_{△AMN}=\frac{1}{2}×AM×AD=x$为一次函数，一次函数的图象为直线；
当$3\leqslant x \lt 4$时，$M$、$N$分别在线段$AB$、$BC$上，

此时$AM=x cm$，$\triangle AMN$底边$AM$上的高为$BN=\left(8-2x\right)cm$，
$y={S}_{△AMN}=\frac{1}{2}×AM×BN=\frac{1}{2}x(8-2x)=-{x}^{2}+4x$为二次函数，二次函数的图象为开口向下的抛物线；
只有$A$选项符合题意，
故选：$A$.