（1）如图所示，过$A$作$AM\bot BC$垂足为$M$，

$\because AM\bot BC$，平行四边形$ABCD$的面积为$96$，
$\therefore BC\cdot AM=96$，
$\therefore AM=8$，
$\therefore BM=\sqrt{AB^2-AM^2}=6$，
$\therefore MC=6$，
$\therefore AM$垂直平分$BC$，
$\therefore AB=AC$，$\angle B=\angle ACB$，
设$FE=x$，
$\because AM\bot BC$，$EF\bot BC$，
$\therefore AM$∥$EF$，
$\therefore \triangle BFE$∽$\triangle BAM$，
$\therefore \frac{BF}{BA}=\frac{EF}{AM}$，
$\therefore BF=\frac{5}{4}x$，
$\therefore BE=\sqrt{BF^2-EF^2}=\frac{3}{4}x$，
在$\triangle BEF$和$\triangle CHG$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠B=∠ACB\\∠BEF=∠CHG，\\ EF=GH\end{array}\right.$
$\therefore \triangle BEF$≌$\triangle CHG\left(AAS\right)$，
$\therefore BE=HC=\frac{3}{4}x$，
$\because EH=EF=x$，$BC=BE+EH+HC$，
$\therefore \frac{3}{4}x+x+\frac{3}{4}x=12x=\frac{24}{5}$，
$\therefore S_{正方形EFGH}=EF^2=\frac{576}{25}$；
$(2)$如图所示，过$A$作$AM\bot BC$垂足为$M$，

$\therefore AM$∥$EF$，$AM\bot BC$，
$\because$平行四边形$ABCD$，
$\therefore AF$∥$BC$，
$\therefore$四边形$AMEF$为矩形，
$\therefore EF=AM=8$，
$\because AD=BC=12$，$FD=EF$，
$\therefore AF=AD-FD=12-8=4$，
$\because CD=10$，$DH=8$，
$\therefore CH=6$，
$\therefore EC=EH-CH=8-6=2$，
$\because AF$∥$EC$，
$\therefore \angle FAP=\angle PCE$，$\angle AFP=\angle PEC$，
$\therefore \triangle AFP$∽$\triangle CEP$，
$\therefore \frac{AP}{PC}=\frac{AF}{EC}=\frac{4}{2}=2$，
$\therefore AP:CP=2:1$；
$\ \ \ \left(3\right)$如图所示，
$\because \triangle BEF$∽$\triangle CHG,$当$\angle B=\angle HCG$时，点$G$在$AC$上时，由（1）得$\triangle BEF$≌$\triangle CHG$，$BE=\frac{3}{4}×EF=\frac{3}{4}×\frac{24}{5}=\frac{18}{5}$；

当$\angle B=\angle HGC$时，点$G$不在$AC$上，如图所示，

$\because \triangle BEF$∽$\triangle CHG$，
$\therefore \frac{EF}{HC}=\frac{BE}{HG}$，
设$EF=x$，得$BF=\frac{5}{4}xBE=\frac{3}{4}x$，$EH=GH=x$，
$\therefore HC=BC-BE-EH=12-\frac{3}{4}x-x=12-\frac{7}{4}x$，
$\therefore \frac{x}{12-\frac{7}{4}x}=\frac{\frac{3}{4}x}{x}$，$\frac{1}{12-\frac{7}{4}x}=\frac{\frac{3}{4}}{x}$，
$\therefore x=\frac{3}{4}(12-\frac{7}{4}x)x=9-\frac{21}{16}x$，
$\therefore x=\frac{144}{37}$，
$\therefore BE=\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}×\frac{144}{37}=\frac{108}{37}$.

（1）如图所示，过$A$作$AM\bot BC$垂足为$M$，

$\because AM\bot BC$，平行四边形$ABCD$的面积为$96$，
$\therefore BC\cdot AM=96$，
$\therefore AM=8$，
$\therefore BM=\sqrt{AB^2-AM^2}=6$，
$\therefore MC=6$，
$\therefore AM$垂直平分$BC$，
$\therefore AB=AC$，$\angle B=\angle ACB$，
设$FE=x$，
$\because AM\bot BC$，$EF\bot BC$，
$\therefore AM$∥$EF$，
$\therefore \triangle BFE$∽$\triangle BAM$，
$\therefore \frac{BF}{BA}=\frac{EF}{AM}$，
$\therefore BF=\frac{5}{4}x$，
$\therefore BE=\sqrt{BF^2-EF^2}=\frac{3}{4}x$，
在$\triangle BEF$和$\triangle CHG$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠B=∠ACB\\∠BEF=∠CHG，\\ EF=GH\end{array}\right.$
$\therefore \triangle BEF$≌$\triangle CHG\left(AAS\right)$，
$\therefore BE=HC=\frac{3}{4}x$，
$\because EH=EF=x$，$BC=BE+EH+HC$，
$\therefore \frac{3}{4}x+x+\frac{3}{4}x=12x=\frac{24}{5}$，
$\therefore S_{正方形EFGH}=EF^2=\frac{576}{25}$；
$(2)$如图所示，过$A$作$AM\bot BC$垂足为$M$，

$\therefore AM$∥$EF$，$AM\bot BC$，
$\because$平行四边形$ABCD$，
$\therefore AF$∥$BC$，
$\therefore$四边形$AMEF$为矩形，
$\therefore EF=AM=8$，
$\because AD=BC=12$，$FD=EF$，
$\therefore AF=AD-FD=12-8=4$，
$\because CD=10$，$DH=8$，
$\therefore CH=6$，
$\therefore EC=EH-CH=8-6=2$，
$\because AF$∥$EC$，
$\therefore \angle FAP=\angle PCE$，$\angle AFP=\angle PEC$，
$\therefore \triangle AFP$∽$\triangle CEP$，
$\therefore \frac{AP}{PC}=\frac{AF}{EC}=\frac{4}{2}=2$，
$\therefore AP:CP=2:1$；
$\ \ \ \left(3\right)$如图所示，
$\because \triangle BEF$∽$\triangle CHG,$当$\angle B=\angle HCG$时，点$G$在$AC$上时，由（1）得$\triangle BEF$≌$\triangle CHG$，$BE=\frac{3}{4}×EF=\frac{3}{4}×\frac{24}{5}=\frac{18}{5}$；

当$\angle B=\angle HGC$时，点$G$不在$AC$上，如图所示，

$\because \triangle BEF$∽$\triangle CHG$，
$\therefore \frac{EF}{HC}=\frac{BE}{HG}$，
设$EF=x$，得$BF=\frac{5}{4}xBE=\frac{3}{4}x$，$EH=GH=x$，
$\therefore HC=BC-BE-EH=12-\frac{3}{4}x-x=12-\frac{7}{4}x$，
$\therefore \frac{x}{12-\frac{7}{4}x}=\frac{\frac{3}{4}x}{x}$，$\frac{1}{12-\frac{7}{4}x}=\frac{\frac{3}{4}}{x}$，
$\therefore x=\frac{3}{4}(12-\frac{7}{4}x)x=9-\frac{21}{16}x$，
$\therefore x=\frac{144}{37}$，
$\therefore BE=\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}×\frac{144}{37}=\frac{108}{37}$.