D

连接$AC$、$BD$，
$\because E$、$F$、$G$、$H$分别是$AB$、$BC$、$CD$、$AD$的中点，
$\therefore EF=GH=\frac{1}{2}AC$，$EH=GF=\frac{1}{2}BD$，
$\therefore$四边形$EFGH$是平行四边形，
$\therefore$当$EF=EH$时，四边形$EFGH$是菱形，
$\therefore \frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD$，
$\therefore AC=BD$，
$\therefore$使四边形$EFGH$是菱形，则四边形$ABCD$应具备的条件是对角线相等，
故选：$D$.