C

要是四边形$EHGF$是矩形，应添加条件是对角线互相垂直，
理由是：连接$AC$、$BD$，两线交于$O$，
根据三角形的中位线定理得：$EF$∥$AC$，$EF=\frac{1}{2}AC,GH$∥$AC$，$GH=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore EF$∥$GH$，$EF=GH$，
$\therefore$四边形$EFGH$一定是平行四边形，
$\therefore EF$∥$AC,EH$∥$BD$，
$\because BD\bot AC$，
$\therefore EH\bot EF$，
$\therefore \angle HEF=90^{\circ}$，
故选：$C$.